Геометрия 8 класс учебник Мерзляк Центральные и вписанные углы страница 59

Задание 301

На дуге АС окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, отмечена точка М так, что ∪AM = 2 ∪ СМ. Найдите углы треугольника АМС.

Ответ:

Дано:

Равносторонний треугольник АВС

Дуга АМ=2 дуги СМ

Найти: углы АМС.

Углы АМС равны, т.к равносторонний.

Дуга А В= дуге АС = дуге ВС = 120 градусов.

Угол АМС = 120 градусов (половине дуге АВС)

Дуга АМ + дуга СМ = 120, значит, 3 дуги СМ=120, дуга СМ=40, дуга АМ = 80

Угол АСМ = половине дуги АМ=40

Угол САМ = половине дуги СМ=20.

Задание 302

Окружность, построенная на стороне АВ треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны АС и ВС в точках М и К соответственно. Докажите, что отрезки АК и ВМ — высоты треугольника ABC.

Ответ:

Дано: АВС-треугольник

ВС-диаметр

Доказать: AK ⊥ CB ,BM ⊥ AC

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается:

∡ACB=половине АВ

∠AKB =половине АВ (т.к ∪ AB = 180)

∠AMB = половине АВ

∠AMB=180:2=90, значит, BM ⊥ AC.

Задание 303

Окружность, построенная на стороне АС треугольника ABC как на диаметре, пересекает сторону АВ в точке К так, что ∠ACK — ∠BCK. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

Ответ:

Дано:

∠ACK = ∠BCK

△ABC, AC-диаметр

Доказать: △ABC — равнобедренный

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

AKC опирается на диаметр АС, значит, согласно следствию, он прямой.

CK ⊥ AB, CK-биссектриса, значит, ∠ACK = ∠BCK.

△ABC-равнобедренный.

Задание 304

Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключённых между двумя параллельными хордами, равны.

Ответ:

a ∥ b, АД-секущая, ∠BAD = ∠ADC как накрест лежащие углы.

Получили, что равные углы опираются на дуги ВД  и АС, заключённые между параллельными прямыми.

Задание 305

Вершины квадрата ABCD лежат на окружности. На дуге АВ отмечена произвольная точка М. Докажите, что ∠AMD = ∠CMD = ∠CMB.

Ответ:

ABCD-квадрат, значит, BC = CD = AD, дуги AD= DC =BC.

Углы AMD ,CMD и  CMB опираются на равные дуги, значит, и углы равны.

∠AMD = ∠CMD = ∠CMB

Задание 306

Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 56°. На боковой стороне треугольника как на диаметре построена полуокружность, которую другие стороны треугольника делят на три дуги. Найдите градусные меры образовавшихся дуг.

Ответ:

Дано:

△ABC

 ∠ABC = 56 ∘

AB = BC

АВ-диаметр

Найти: AK , KM, BM-?

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую опирается.

∠ABM = 56°. Он вписанный, значит, AKM=2 ⋅ 56° = 112°

∠BAC = ∠BCA = (180° − 56°) : 2 = 62°

Дуга KMB=2 ⋅ 62° = 124°

∠BMA = 90° (Вписанный угол, опирающийся на диаметр (полуокружность), — прямой.)

∠BAM = 90° − 56° = 34°

ВМ=2*34=68

МК=124-68=56

АК=112-56=56.

Задание 307

Как, пользуясь только угольником, найти центр данной окружности?

Ответ:

Приложим угольник так, чтобы прямым углом он касался окружности, а его стороны пересекали окружность. Отметим вершину В  прямого угла и точки А и С пересечения сторон угольника с окружностью. Построим прямой вписанный угол АВС, соединив точки. Вписанный угол, опирающийся на диаметр (полуокружность), — прямой.

Вписанный угол MNP. Центр окружности – точка О.

Задание 308

Дана окружность, в которой проведён диаметр АВ, и отмечена точка С вне окружности (рис. 100). Как, пользуясь только линейкой, провести через точку С прямую, перпендикулярную прямой АВ?

Ответ:

СМ. РИСУНОК 100.

∠AMB = 90, ∠BNA = 90 ∘. BM и AN-высоты АВС.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке. Отрезок СН проходит от вершины треугольника через точку пересечения высот, поэтому СН-высота. CH ⊥ AB.

Задание 309

Две окружности имеют единственную общую точку М. Через точку М проведены две прямые, пересекающие данные окружности. Точки их пересечения с окружностями, отличные от точки М, соединены хордами. Докажите, что эти хорды параллельны.

Ответ:

Дано:

Точка М

Доказать: параллельность хорд

АВ и СД-хорды.

n-касательная.

∠1 = ∠2 так как они вертикальные.

Угол между касательной и хордой равен половине дуги, которая находится между ними.

∠BAM = ∠1 , ∠CDM = ∠2, тогда ∠BAM = ∠CDM

∠BAM = ∠CDM накрест лежащие при секущей, тогда AB ∥ CD.

Задание 310

К окружности, описанной около треугольника ABC, проведена в точке В касательная, пересекающая прямую АС в точке D. Отрезок ВМ — биссектриса треугольника ABC. Докажите, что BD — MD.

Ответ:

Дано:

Окружность

Треугольник АВС

ВМ-М-биссектриса

Доказать: ВД=МД

∠CBD = ∠BAC

∠BMD-внешний и равен сумме двух углов, не смежных с ним.

∠BMD = ∠BAC + ∠ABM

∠MBC = ∠ABM

∠CBD = ∠BAC

 ∠MBD = ∠MBC + ∠CBD = ∠ABM + ∠BAC

△MBD-равнобедренный, BD = MD

Задание 311

Даны отрезок АВ и угол а. Найдите геометрическое место точек X таких, что ZAXB = а.

Ответ:

Дано: АВ, угол а

AD ⊥ AB

BC ⊥ AB

∠CBL = α

BL ∩ AD = X

BO = OX

О-центр дуги

∠AXB = α

Задание 312

Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и высоте, проведённой к данной стороне.

Ответ:

∠M = ∠α

m ∥ AB

 m ∩ MA = K, m ∩ MB = N

Вписанным углом окружности называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

∠C, ∠M— вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу. ∠C = ∠M = α

△ABC-искомый треугольник.

Задание 313

Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и медиане, проведённой к данной стороне.

Ответ:

A ∈ l

AC = a

m ⊥ AC через точку А

m ⊥ AC, A ∈ m

n ⊥ AC, C ∈ n

KCC1 = α ,K ∈ n, C1 ∈ m

Точка О-середина СС1

C1O = OC

Окружность с центром в точке О, радиусом ОС

AM = MC

∠AB1C = ∠ABC = α

AC1 ∥ KC-накрест лежащие углы равны.

AC = a, BM = BM1 = m-медианы

△ABC, △AB1C-искомые