Геометрия 8 класс учебник Мерзляк Центральные и вписанные углы страница 58

Геометрия 8 класс учебник Мерзляк

Тип: ГДЗ, Решебник.

Год: 2013,2015,2016,2017.

Издательство: «Вентана-Граф»

Серия: «Алгоритм успеха»

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.

Ответы на задания к странице 58. Геометрия 8 класс учебник

✔ Готовое домашнее задание с подробным решением

Задание 291

Докажите, что если две дуги окружности равны, то равны и хорды, их.

Ответ:

Проведём хорды АВ и СД, Проведём радиусы OA, OB, OC,OD.

Угол с вершиной в центре окружности называется её центральным углом. Градусная мера центрального угла равна градусной мере соответствующей дуги окружности, на которую он опирается.

∠AOB= ∠COD

∠AOB= ∠COD AO = BO = CO = DO

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. △AOB =  △COD по первому признаку равенства треугольников. Хорды, стягивающие данные дуги, равны, что и требовалось доказать.

Задание 292

Точки А, В и С делят окружность на три дуги так, что АВ : ВС : АС = 1 : 2 : 3. Найдите углы треугольника ABC.

Ответ:

⌣AB = x

⌣BC = 2x

⌣AC = 3x

x + 2x + 3x = 360

6x = 360

x = 60

⌣AB = 60°, ⌣BC = 2 ⋅ 60° = 120°, ⌣AC = 3 ⋅ 60° = 180°

∠C =30, ∠A=60, ∠B =90.

Задание 293

Вершины равнобедренного треугольника ABC (АВ — ДС) делят описанную около него окружность на три дуги, причём АВ 70°. Найдите углы треугольника ABC.

Ответ:

∠BCA = 70:2=35 (Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.)

∠BCA = ∠BAC = 35 ∘

∠BCA + ∠BAC + ∠ABC = 180 ∘

∠ABC = 180 ∘ − ∠BCA − ∠BAC

∠ABC = 180 ∘ − 35 ∘ − 35 ∘ = 110 ∘

Задание 294

Концы диаметров АС и BD окружности последовательно соединены так, что образовался четырёхугольник ABCD. 1) Определите вид четырёхугольника АВ CD. 2) Найдите AB, BC, CD и AD, если ABD = 80°.

Ответ:

Дано:

АС, ВД-диаметры

АВСД-четырехугольник

∠ABC = половине АОС

∠AOC = 180 ∘

∠ABC=90

∠BCD =половине ∠BOD = 180:2=90

∠ADC=половине АОС=90

Четырёхугольник АВСД — прямоугольник.

Задание 295

Острый угол прямоугольного треугольника равен 32°. Найдите градусные меры дуг, на которые вершины треугольника делят окружность, описанную около него, и радиус этой окружности, если гипотенуза данного треугольника равна 12 см.

Ответ:

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Построим окружность. Проведем АВ-диаметр. Отметим на окружности точку С.

AB = 12 см, AB-гипотенуза.

R=12:2=6 см

CAB=32 градуса, ВС=2*32=64 градуса

∠ABC = 90° − 32° = 58°(свойство острых углов прямоугольного треугольника).

AC=2 ⋅ 58° = 116°

Задание 296

Докажите, что если вписанный угол является прямым, то он опирается на диаметр.

Ответ:

Вписанный угол равен половине дуги на которую опирается.

Если вписанный угол = 90 градусов, то дуга будет равна: 90 * 2= 180.

Градусная мера всей окружности = 360, а половина (360/2=180) равна 180.

Из этого следует, что угол опирается на половину окружности.

А диаметр делит окружность на 2 равные части.

Из этого следует, что вписанный угол опирается на диаметр.

Что требовалось доказать.

Задание 297

Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке М (рис. 97). Докажите, что AMC = ½ (АС + BD).

Ответ:

Дано: Окружность

АВ, СД-хорды.

Доказать: Угол АМС=половине дуги АС+ВД

Угол АМС-внешний

Угол АМС=МСВ+МВС

Угол СВА=половине дуги АС

Угол ВСД=половине ВД

Угол АМС=половине дуги ВС+половине дуги ВД, ЧТД.

Задание 298

Хорды АВ и CD окружности не пересекаются, а прямые АВ и CD пересекаются в точке М (рис. 98). Докажите, что AMC =1/2 (АСSD).

Ответ:

Дано: АВ, СД-хорды

Доказать: Угол АМС=1/2 (дуга АС+дуга ВД)

Угол СВА-внешний=ВМС+ВСМ

ВМС=СВА-ВСМ

ВМС=СВА-ВСМ

Т.к СВА=половине АС, то ВМС=половина АС-половина ВД.

АМС=1/2(АС-ВД). ЧТД,

Задание 299

Через точку А, лежащую вне окружности с центром в точке О, проведены две прямые, одна из которых касается окружности в точке В, а вторая проходит через её центр (рис. 99). Известно, что BMC = 100°. Найдите BAC.

Ответ:

Дано: Окружность

АВ-касательная

АС-секущая

Дуга ВМС=100 гр.

Найти: Угол ВАС

ВО параллельно АВ (т.к АВ-касательная)

Угол ВОС=дуге ВМС=100 градусов (центр. Угол)

Угол ВОА=80 градусов (смежные углы)

Угол АВО=90 градусов, Угол ВОА=80 градусов, значит, угол ВАО=10 градусов.

Задание 300

Биссектриса угла В треугольника ABC пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке D. Найдите углы треугольника ADC, если ABC = 80°.

Ответ:

Биссектриса делит угол АВС пополам:

∠АВD=∠DBC=40°.

Значит дуга AD равна дуге АВ.

Равные дуги стягивают равные хорды.

AD=DC

Треугольник ADC — равнобедренный.

Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника АВСD равна 180°

∠ ADC=180°-80°=100°

∠DAC=∠DCA=(180°-100°)/2=40°

Ответ: 100°; 40°; 40°