Геометрия 8 класс учебник Мерзляк Центральные и вписанные углы страница 58

Тип: ГДЗ, Решебник.
Год: 2013,2015,2016,2017.
Издательство: «Вентана-Граф»
Серия: «Алгоритм успеха»
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
✔ Готовое домашнее задание с подробным решением
Задание 291
Докажите, что если две дуги окружности равны, то равны и хорды, их.
Ответ:
Проведём хорды АВ и СД, Проведём радиусы OA, OB, OC,OD.
Угол с вершиной в центре окружности называется её центральным углом. Градусная мера центрального угла равна градусной мере соответствующей дуги окружности, на которую он опирается.
∠AOB= ∠COD
∠AOB= ∠COD AO = BO = CO = DO
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. △AOB = △COD по первому признаку равенства треугольников. Хорды, стягивающие данные дуги, равны, что и требовалось доказать.
Задание 292
Точки А, В и С делят окружность на три дуги так, что ∪АВ : ∪ВС : ∪АС = 1 : 2 : 3. Найдите углы треугольника ABC.
Ответ:
⌣AB = x
⌣BC = 2x
⌣AC = 3x
x + 2x + 3x = 360
6x = 360
x = 60
⌣AB = 60°, ⌣BC = 2 ⋅ 60° = 120°, ⌣AC = 3 ⋅ 60° = 180°
∠C =30, ∠A=60, ∠B =90.
Задание 293
Вершины равнобедренного треугольника ABC (АВ — ДС) делят описанную около него окружность на три дуги, причём ∪АВ — 70°. Найдите углы треугольника ABC.
Ответ:
∠BCA = 70:2=35 (Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.)
∠BCA = ∠BAC = 35 ∘
∠BCA + ∠BAC + ∠ABC = 180 ∘
∠ABC = 180 ∘ − ∠BCA − ∠BAC
∠ABC = 180 ∘ − 35 ∘ − 35 ∘ = 110 ∘
Задание 294
Концы диаметров АС и BD окружности последовательно соединены так, что образовался четырёхугольник ABCD. 1) Определите вид четырёхугольника АВ CD. 2) Найдите ∪AB, ∪BC, ∪CD и ∪AD, если ∠ABD = 80°.
Ответ:
Дано:
АС, ВД-диаметры
АВСД-четырехугольник
∠ABC = половине АОС
∠AOC = 180 ∘
∠ABC=90
∠BCD =половине ∠BOD = 180:2=90
∠ADC=половине АОС=90
Четырёхугольник АВСД — прямоугольник.
Задание 295
Острый угол прямоугольного треугольника равен 32°. Найдите градусные меры дуг, на которые вершины треугольника делят окружность, описанную около него, и радиус этой окружности, если гипотенуза данного треугольника равна 12 см.
Ответ:
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.
Построим окружность. Проведем АВ-диаметр. Отметим на окружности точку С.
AB = 12 см, AB-гипотенуза.
R=12:2=6 см
CAB=32 градуса, ВС=2*32=64 градуса
∠ABC = 90° − 32° = 58°(свойство острых углов прямоугольного треугольника).
AC=2 ⋅ 58° = 116°
Задание 296
Докажите, что если вписанный угол является прямым, то он опирается на диаметр.
Ответ:
Вписанный угол равен половине дуги на которую опирается.
Если вписанный угол = 90 градусов, то дуга будет равна: 90 * 2= 180.
Градусная мера всей окружности = 360, а половина (360/2=180) равна 180.
Из этого следует, что угол опирается на половину окружности.
А диаметр делит окружность на 2 равные части.
Из этого следует, что вписанный угол опирается на диаметр.
Что требовалось доказать.
Задание 297
Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке М (рис. 97). Докажите, что ∠AMC = ½ (∪АС + ∪BD).
Ответ:
Дано: Окружность
АВ, СД-хорды.
Доказать: Угол АМС=половине дуги АС+ВД
Угол АМС-внешний
Угол АМС=МСВ+МВС
Угол СВА=половине дуги АС
Угол ВСД=половине ВД
Угол АМС=половине дуги ВС+половине дуги ВД, ЧТД.
Задание 298
Хорды АВ и CD окружности не пересекаются, а прямые АВ и CD пересекаются в точке М (рис. 98). Докажите, что ∠AMC =1/2 (∪АС—∪SD).
Ответ:
Дано: АВ, СД-хорды
Доказать: Угол АМС=1/2 (дуга АС+дуга ВД)
Угол СВА-внешний=ВМС+ВСМ
ВМС=СВА-ВСМ
ВМС=СВА-ВСМ
Т.к СВА=половине АС, то ВМС=половина АС-половина ВД.
АМС=1/2(АС-ВД). ЧТД,
Задание 299
Через точку А, лежащую вне окружности с центром в точке О, проведены две прямые, одна из которых касается окружности в точке В, а вторая проходит через её центр (рис. 99). Известно, что ∪BMC = 100°. Найдите ∠BAC.
Ответ:
Дано: Окружность
АВ-касательная
АС-секущая
Дуга ВМС=100 гр.
Найти: Угол ВАС
ВО параллельно АВ (т.к АВ-касательная)
Угол ВОС=дуге ВМС=100 градусов (центр. Угол)
Угол ВОА=80 градусов (смежные углы)
Угол АВО=90 градусов, Угол ВОА=80 градусов, значит, угол ВАО=10 градусов.
Задание 300
Биссектриса угла В треугольника ABC пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке D. Найдите углы треугольника ADC, если ∠ABC = 80°.
Ответ:
Биссектриса делит угол АВС пополам:
∠АВD=∠DBC=40°.
Значит дуга AD равна дуге АВ.
Равные дуги стягивают равные хорды.
AD=DC
Треугольник ADC — равнобедренный.
Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника АВСD равна 180°
∠ ADC=180°-80°=100°
∠DAC=∠DCA=(180°-100°)/2=40°
Ответ: 100°; 40°; 40°