Геометрия 8 класс учебник Мерзляк Центральные и вписанные углы страница 57

Задание 283

На рисунке 91 изображена окружность с центром в точке О. Найдите: 1) ∠BDC, если ∠BAC = 40°; 2) ∠BEC, если ∠BOC= 70°; 3) ∪СЕ, если ∠CDE= 80°; 4) ∠DBA, если ∪DBA = 300°.

Ответ:

1) Углы BDC и BAC опираются на одну и ту же дугу BC, значит, ∠BDC = ∠BAC = 40°.

2) ∠BEC-вписанный, опирается на дугу ВС, значит равен ее половине. ∠BEC=70:2=35 градусов.

3) ∠CDE= половине ∪ СЕ= 80, значит, дуга СЕ=2*80=160

4) Дуга ДА=360-300=60 градусов.

∠DBA= половине дуги ДА=60:2=30 градусов.

Задание 284

Найдите ошибки на рисунке 92.

Ответ:

Вписанным углом окружности называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр (полуокружность), — прямой.

Так как вписанный угол опирается на диаметр, его градусная мера не может быть равна 95 , потому что она должна быть равна 90.

Задание 285

Найдите вписанный угол, если градусная мера дуги, на которую он опирается, равна: 1) 84°; 2) 110°; 3) 230°; 4) 340°

Ответ:

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

84° : 2 = 42°

110:2=55

230:2=115

340:2=170.

Задание 286

На рисунке 93 ∪АВ = 74°, ∠ABC =68°. Найдите ВС.

Ответ:

∠ABC- — вписанный.

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

∪ AC = 2 ⋅ ∠ABC = 2 ⋅ 68° = 136°

∪ BC = 360° − (74° + 136°) = 150°

Задание 287

На рисунке 93 ∪АВ = 64°, и ∪ВС = 92°. Найдите ZABC.

Ответ:

∠ABC-вписанный угол.

∪ AC = 360° − (64° + 92°) = 204°

∠ABC =1/2*204=102 градуса

Задание 288

Центральный угол АОС на 25° больше вписанного угла ABC, который опирается на дугу АС (рис. 94). Найдите ∠AOC и ∠ABC.

Ответ:

∠AOC = ∪ AC

∪AC = 2∠ABC

∠AOC = ∪AC

∪AC = 2∠ABC

∠AOC = 2∠ABC

∠AOC = ∠ABC + 25°

∠ABC + 25° = 2∠ABC

∠ABC = 25 ∘

∠AOC = ∠ABC + 25° = 25° + 25° = 50°

Задание 289

Концы хорды АВ делят окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 3 : 7. Под какими углами видна эта хорда из точек М и К (рис. 95)?

Ответ:

(360° : (3 + 7)) ⋅ 3 = 108° -дуга АКВ

(360° : (3 + 7)) ⋅ 7 = 252°-дуга АМВ

∠AKB = 108:2=54

∠AMB= 252:2=126

Задание 290

Хорды АВ и CD равны (рис. 96). Докажите, что ∠AMB — ∪CND.

Ответ:

AO = BO = CO = DO = r

△AOB = △COD по третьему признаку

Угол с вершиной в центре окружности называется её центральным углом. Градусная мера центрального угла равна градусной мере соответствующей дуги окружности, на которую он опирается.

∪ AMB = ∪ CND