Геометрия 8 класс учебник Мерзляк Трапеция страница 51

Задание 265

Диагональ равнобокой трапеции разбивает её на два равнобедренных треугольника. Найдите углы трапеции.

Ответ:

Трапеция называется равнобокой, если её боковые стороны равны.

АС-диагональ

∠ABC-тупой, ∠BAC = ∠BCA-так как в треугольнике не может быть два тупых угла

∠BAC = ∠BCA = x

∠CDA = ∠BAD = 2x

∠CDA = ∠DCA = 2x

∠C = ∠BCA + DCA = x + 2x = 3x

∠B = ∠C = 3x

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360 ∘

2x + 3x + 3x + 2x = 360 ∘

10x = 360 ∘

x = 36 ∘

∠A = ∠D = 2x = 2 ⋅ 36 ∘ = 72 ∘

∠B = ∠C = 3x = 3 ⋅ 36 ∘ = 108 ∘

Задание 266

В трапеции ABCD (ВС || AD) известно, что AC ⊥ BD, ZCAD = 30°, BD = 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Ответ:

Накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.

∠BCA и  ∠CAD накрест лежащие, следовательно, они равны.

∠BCA = ∠CAD = 30 ∘

∠BDA = ∠DBC = 180 ∘ − (90 ∘ + 30 ∘) = 60 ∘

∠AOD = 90 ∘

AD = 2 ⋅ OD

BC = 2 ⋅ BO

KM = AD + BC/2 = 2 * (OD = OB)/2

KM = OD + OB = BD = 8 см

Задание 267

Докажите, что точка пересечения биссектрис углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, принадлежит прямой, которая содержит её среднюю линию.

Ответ:

AA1, BB1-биссектрисы

∠A + ∠B = 180 ∘ как односторонние углы

∠ABO + ∠BAO = 180:2=90

∠AOB = 180 ∘ − (∠ABO + ∠BAO) = 180 ∘ − 90 ∘ = 90 ∘.

По аксиоме параллельности прямых через точку К можно провести единственную прямую, параллельную АД , значит, ОК — единственная прямая, параллельная АД . Следовательно, точка О лежит на прямой МК1

В трапеции точка пересечения биссектрис углов, прилежащих к боковой стороне, лежит на её средней линии.

Задание 269

Постройте равнобокую трапецию по основанию, высоте и боковой стороне.

Ответ:

1. С помощью линейки построим произвольную горизонтальную прямую, на которой обозначим произвольную точку А. Вправо от нее циркулем отложим отрезок длиной а, получив точку В. АВ — бОльшее основание искомой трапеции.
2. На основании АВ от т. А циркулем отложим отрезок длиной b, получив точку F. Отрезок FB имеет длину, равную разности длин оснований трапеции.
3. При помощи циркуля разделим отрезок FB пополам (обозначим середину как т. О), проведя в процессе деления через середину отрезка (т.О) перпендикуляр.
4. Из т. В радиусом, равным с (т.е. равным стороне искомой трапеции) выполним засечку на перпендикуляре, построенном через т. О в ходе деления отрезка FB пополам. Обозначим полученную засечку как т. С.
5. Рассмотрим полученный треугольник СВО: он прямоугольный по построению, гипотенуза СВ равна стороне искомой трапеции по построению, катет ОВ равен полуразности оснований трапеции по построению. Следовательно, катет СО — высота искомой трапеции, а т. С — одна из вершин искомой трапеции.
6. Далее выполняем построение от т. А: отложить отрезок АQ, равный ОВ (т.е. равный 1/2 разности оснований), от т. Q построить перпендикуляр, на нём выполнить засечку радиусом с, получив т. D, т.е. четвертую вершину трапеции. (Обратим внимание, что треугольники ADQ и BOC равны, т.к. у них катет и гипотенуза равны по построению).

Задание 271

Через вершину В параллелограмма ABCD проведена прямая, которая не имеет с параллелограммом других общих точек. Вершины А и С удалены от этой прямой на расстояния а и b соответственно. Найдите расстояние от точки D до этой прямой.

Ответ:

AP ⊥ l

OS ⊥ l

CQ ⊥ l

AP ∥ OS ∥ CQ

OS = b+a/2

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

DB = 2OB

RB = 2SB

△DRB ∼ △OSB по второму признаку подобия треугольников.

DR = 2OS

DR = b + a = a + b

Задание 272

В окружности проведены диаметры АВ и CD. Докажите, что АС= BD и АС || BD.

Ответ:

АВ, СД-диаметры

Доказать: АС= BD и АС || BD.

АО = ОВ, СО = OD как радиусы,

∠АОС = ∠BOD как вертикальные, ⇒

ΔАОС = ΔBOD по двум сторонам и углу между ними.

Значит ∠САО = ∠DBO, а эти углы — накрест лежащие при пересечении прямых АС и BD секущей АВ, значит

АС ║ BD.

Задание 273

В окружности с центром О проведены диаметр АВ и хорда АС. Докажите, что ∠BOC = 2∠BAC.

Ответ:

Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника. Если внутренний угол при данной вершине треугольника образован двумя сторонами, выходящими из данной вершины, то внешний угол треугольника образован одной из тех же сторон, выходящей из данной вершины и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

∠BOC = ∠OAC + ∠OCA = 2∠OAC = 2∠BAC (∠BOC-внешний)

Задание 274

Прямая АВ касается окружности с центром О в точке С, АС = ВС. Докажите, что OA = OB

Ответ:

Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то есть d = r

то эта прямая является касательной к окружности.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

OC-высота, АВ-касательная к окружности.

ОС-медиана треугольника, так как АС=ВС

AOB OA = OB

Задание 275

Хорда АВ окружности с центром О перпендикулярна радиусу ОС и делит его пополам. Найдите: 1) ∠AOB; 2) ∠ACB.

Ответ:

Построим окружность с центром в точке О

Проведём радиус ОС

Найдём точку К- середину ОС. AB ⊥ OC.

АВ-хорда, ОС-радиус, то AK = KB

OACB-ромб (AK = KB , OK = KC, AB ⊥ OC)

∠OAK = 30° (Гипотенуза вдвое больше катета, значит, этот катет лежит напротив угла 30)

∠AOK = 90° − 30° = 60°

∠AOB = 2 ⋅ 60° = 120°

Задание 276

Сколько общих точек имеют две окружности с радиусами 6 см и 8 см, если расстояние между их центрами равно: 1) 15 см; 2) 14 см; 3) 10 см;

Ответ:

1) Так как сумма радиусов меньше, чем расстояние между центрами окружностей, то общих точек нет.

6+8=14 см, OS = 15 см.

14 < 15

2) 1 точка.

3) 2 точки

4) 1 точка