Геометрия 8 класс учебник Мерзляк Трапеция страница 50

Задание 249

Высота равнобокой трапеции равна h, а боковая сторона видна из точки пересечения диагоналей под углом* 60°. Найдите диагональ трапеции.

Ответ:

1) ABCD-трапеция, AB = CD

2) Проведем диагонали, они пересекаются в точке О

3) ВН-высота

∠BOC = 180 ∘ − 60 ∘ = 120 ∘ (т.к смежные)

∠OBC = ∠OCB, △BOC-равнобедренный

∠OBC = (180 − 120 ∘): 2 = 30 ∘

AD ∥ BC

∠CBD = ∠BDA = 30 ∘-накрест лежащие

△HBD:  ∠BHD = 90 ∘ и ∠BDH = 30 ∘

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 гр, равен половине гипотенузы.

BD = 2BH = 2h

Задание 250

Основания равнобокой трапеции относятся как 2 : 5, а диагональ делит тупой угол трапеции пополам. Найдите стороны трапеции, если её периметр равен 68 см.

Ответ:

Трапецией называют четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Трапеция называется равнобокой, если её боковые стороны равны.

Построим трапецию ABCD, AB = CD.

AC-диагональ

AD ∥ BC, AC-секущая

∠BCA = ∠CAD как накрест лежащие углы

∠ACD = ∠CAD

△ACD равнобедренный (∠ACD = CAD), AD = CD

BC=х, AD = 5x

AB = CD = 5x

5x + 2x + 5x + 5x = 68

17x = 68

x =4

AB = CD = AD = 5 ⋅ 4 = 20 см

BC = 2 ⋅ 4 = 8 см

Задание 251

В трапеции ABCD известно, что АВ = CD, AD = 24 ∠ADB = — ∠CDB, а периметр равен 60 см. Найдите неизвестные стороны трапеции.

Ответ:

BC ∥ AD по определению трапеции

BD-секущая

∠CBD = ∠ADB как накрест лежащие

∠CBD = ∠ADB, значит, △BCD равнобедренный. BC = CD = AB.

BC = CD = AB = x

BC + CD + AB + AD = 60

x + x + x + AD = 60

3x + AD = 60

3x + 24 = 60

3x = 36

x = 12

BC = CD = AB = 12 см

Задание 252

Стороны трапеции равны а, а, а и 2а. Найдите углы трапеции.

Ответ:

BH ⊥ AD ,CE ⊥ AD

∠B = ∠C = ∠E = ∠H = 90, BCEH-прямоугольник

EH = BC = a ( по свойству прямоугольника)

AH + ED = AD − EH = 2a − a = a

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30.

∠ABH = 30 ∘

∠A = 90 ∘ − 30 ∘ = 60 ∘

∠B = ∠ABH + ∠HBC = 30 ∘ + 90 ∘ = 120 ∘

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

∠A = ∠D = 60 ∘ ∠B = ∠C = 120 ∘

Задание 253

В трапеции ABCD диагональ АС перпендикулярна боковой стороне CD и является биссектрисой угла BAD, ∠D — 60°, периметр трапеции равен 40 см. Найдите основания трапеции.

Ответ:

ACD: ∠D = 60 ∘ ∠ACD = 90 ∘

∠CAD = 90 ∘ − 60 ∘ = 30 ∘

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 , равен половине гипотенузы.

AD = 2CD

∠BAD = 2 ⋅ ∠CAD = 2 ⋅ 30 ∘ = 60 ∘

∠A = ∠D

AB = CD

∠BCA = ∠CAD = 30 (накрест лежащие)

∠BCA = ∠BAC = 30 ∘, АВС-равнобедренный

AB = BC = CD

BC + CD + AB + AD = 40

CD + CD + CD + AD = 40

CD + CD + CD + 2CD = 40

5CD = 40

5CD = 40

СD = 8

BC = CD = 8 см

AD = 2CD = 2 ⋅ 8 = 16 см

Задание 254

Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, а меньшее основание равно боковой стороне. Найдите углы трапеции.

Ответ:

AC ⊥ CD, AB = CD = BC

∠BCA = ∠BAC – т.к АВС-равнобедренный

BC ∥ AD, AC-секущая, ∠BCA = ∠CAD-как накрест лежащие, ∠BAC = ∠CAD.

∠A = ∠D = ∠BAC + ∠CAD = ∠CAD + ∠CAD = 2∠CAD

∠B = ∠C = 90 ∘ + ∠BCA = 90 ∘ + ∠CAD

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360 ∘

2∠CAD + 90 ∘ + ∠CAD + 90 ∘ + ∠CAD + 2∠CAD = 360 ∘

6∠CAD + 180 ∘ = 360 ∘

6∠CAD = 180 ∘

∠CAD = 30 ∘

∠A = ∠D = 2∠CAD = 2 ⋅ 30 ∘ = 60 ∘

∠B = ∠C = 90 ∘ + ∠CAD = 90 ∘ + 30 ∘ = 120 ∘

Задание 255

При каком условии высота равнобокой трапеции равна полуразности оснований?

Ответ:

Дано:

AB = CD

BH-высота

HD =(BC + AD):2

AH =(AD – BC):2

∠AHB = 90 ∘

AH = AB, △ABH-равнобедренный.

Значит, ∠ABH = ∠BAD = 45 ∘

BH =(AD – BC):2, при условии, что острый угол равнобокой трапеции равен 45 гр.

Задание 256

Постройте равнобокую трапецию по основанию, боковой стороне и углу между ними.

Ответ:

Поскольку трапеция должна быть равнобокая, то углы при основании равны. Поскольку трапеция должна быть равнобокая, то AB = DC.

ABCD ― искомая равнобокая трапеция

∠BAC= ∠CDA, AB= CD. BC ∥ AD.

Задание 257

Постройте прямоугольную трапецию по основаниям и меньшей боковой стороне.

Ответ:

Высотой трапеции называют перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой, содержащей одно из оснований, на прямую, содержащую другое основание. Если боковая сторона трапеции является её высотой, то такую трапецию называют прямоугольной.

Начертим прямую а и отложим на ней отрезок АД.

Построим с помощью циркуля через точку А прямую м. Отложим на прямой м отрезок АВ.

Построим с помощью циркуля через точку В прямую n. Отложим на ней ВС.

Соединим В и Д.

AD ⊥ BA, BA ⊥ BC

BC ∥ AD BA ∦ DC, ∠A = 90 ∘

ABCD-прямоугольная трапеция

Задание 258

Постройте равнобокую трапецию по основанию, боковой стороне и диагонали.

Ответ:

Параллельные стороны трапеции называют основаниями, а непараллельные ― боковыми сторонами.

На рисунке изображена трапеция ABCD у которой боковые стороны равны. Такую трапецию называют равнобокой или равнобедренной.

Начертим прямую l и отложим на ней отрезок AД.

Построим дугу с центром в точке А и радиусом равным длине боковой стороны АВ.

Построим дугу с центром в точке Д и радиусом равным длине диагонали ВД.

На пересечении дуг отметим точку В. Построим дугу с центром в точке А и радиусом равным длине диагонали АС.

На пересечении дуг отметим точку С. Получили искомую равнобокую трапецию ABCD.

AB = CD, AC = BD.

Задание 259

Боковая сторона равнобокой трапеции равна 6 см, большее основание — 10 см. Найдите среднюю линию трапеции, если один из её углов равен 60°.

Ответ:

Дано:

ABCD-трапеция

AB = CD = 6 см

AD = 10 см

KM-средняя линия

∠BAD = 60 ∘

Найти: Среднюю линию трапеции КМ

BH ⊥ AD

∠BAH = 60 ∘ ∠BHA = 90 ∘, ∠ABH = 180 ∘ − (60 ∘ + 90 ∘) = 30 ∘

АН=6:2=3 см

10 − BC = 6, BC = 4 см

KM = (10+4):2=7 см

Задание 260

Диагональ равнобокой трапеции равна 14 см и образует с основанием угол 60°. Найдите среднюю линию трапеции.

Ответ:

Дано:

AB = CD

AC = 14 см

КМ-— средняя линия;

∠CAD = 60 ∘

CH ⊥ AD

∠CAH = 60 ∘ ∠CHA = 90,

∠ACH = 180 ∘ − (60 ∘ + 90 ∘) = 30 ∘

AH = 14:2= 7 см

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований

KM = 7 см.

Задание 261

Средняя линия трапеции ABCD разбивает её на две трапеции, средние линии которых равны 15 см и 19 см. Найдите основания трапеции ABCD.

Ответ:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

FF1 = BC + KM/2 = 15 см

PP1 = KM + AD/2 = 19 см

KM = BC + AD/2 = 17 см

ВС = 13 см

17+АД=38, АД+21 см

Задание 262

Докажите, что если диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, то её высота равна средней линии трапеции.

Ответ:

Трапецией называют четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Построим трапецию ABCD, AB = CD

AC и BD-диагонали

Проведём высоту MN, BM = MC и AN = ND

∠AOD = 90 ∘

△AOD-равнобедренный

∠OAD = ∠ODA = (180 − 90 ) : 2 = 45

MN ⊥ AD, ∠OAD = 45 ∘ ,∠AON = 90 ∘ − 45 ∘ = 45 ∘

AN = ON (т.к △AON-равнобедренный, ∠OAN = ∠AON)

BM = MO аналогично.

MN = ½ (BC + AD)

Если диагонали равнобокой трапеции пересекаются под прямым углом, то высота трапеции равна её средней линии.

Задание 264

Диагональ прямоугольной трапеции разбивает её на два треугольника, один из которых является равносторонним со стороной а. Найдите среднюю линию трапеции.

Ответ:

Построим трапецию, AB ⊥ AD и  AB ⊥ BC

АС-диагональ

В △ABC есть прямой угол, △ACD-равносторонний

∠B = 90 ∘,  ∠BAC = 90 ∘ − 60 ∘ = 30 ∘

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в , равен половине гипотенузы. Тогда:

BC = ½AC = ½ a

Средняя линия равна:

s = AD + BC/2 = a + ½ a/2 = ¾ d