Геометрия 8 класс учебник Мерзляк Трапеция страница 49

Задание 235

Основания прямоугольной трапеции равны 10 см и 24 см, а один из углов — 45°. Найдите меньшую боковую сторону трапеции.

Ответ:

Дано:

ABCD

∠BAD = 90

AD = 24 см

BC = 10 см

∠ADC = 45 ∘

Найти: боковую сторону ABCD

CH ⊥ AD

∠CHD = 90 ∘, ∠CDH = 45 ∘

∠HCD = 180 ∘ − (90 ∘ + 45 ∘) = 45 ∘

△CHD-равнобедренный, CH = HD

∠BAH = ∠AHC = 90, значит ABCH-прямоугольник.

AH = BC = 10=10 см

AD = AH + HD = 24 см, HD = 24 − 10 = 14 см

CH = 14 см

Найдём меньшую боковую сторону:

BA = CH, BA < CD, BA = 14 см.

Задание 236

Основания прямоугольной трапеции равны 7 см и 15 см, а один из углов — 60°. Найдите большую боковую сторону трапеции.

Ответ:

∠C = 60 ∘ ,BC-искомая сторона

BH ⊥ CD-высота

△BCH: ∠H = 90 ∘ ∠C = 60 ∘

∠B = 180 ∘ − (90 ∘ + 60 ∘) = 30 ∘

BC = 2CH

ABHD ∠A = ∠B = ∠H = ∠D = 90 ∘, значит, ABHD-прямоугольник

AB = HD

CH = CD − HD = 15 − 7 = 8 см

BC = 2CH = 2 ⋅ 8 = 16 см

Задание 237

В трапеции ABCD известно, что АВ = CD, ∠BAC=20°, ∠CAD = 50°. Найдите углы АСВ и ACD.

Ответ:

Дано:

AB = CD

∠BAC = 20

∠CAD = 50 ∘

Найти: ∠ACB и ∠ACD

AB = CD, боковые стороны

∠BAC = 20 ∘; ∠CAD = 50 ∘

∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 20 ∘ + 50 ∘ = 70 ∘

∠ADC = ∠BAD = 70 ∘

△CAD ∠ADC = 70 ∘ ∠CAD = 50 ∘

∠ACD = 180 ∘ − (∠ADC + ∠CAD) = 180 ∘ − (70 ∘ + 50 ∘) = 60 ∘

BC ∥ AD (по определению трапеции)

∠ACB = ∠CAD = 50 ∘ (как накрест лежащие).

∠ACB = 50 ∘

∠ACD = 60 ∘

Задание 238

В трапеции ABCD известно, что ВС || AD, АB ⊥ AD, ВС = CD, ∠ABD = 80°. Найдите углы трапеции.

Ответ:

Дано:

BC ∥ AD

AB ⊥ AD

Найти: углы трапеции АВСД

BC ∥ AD, AB ⊥ AD, BC = CD ,∠ABD = 80 ∘

∠A = ∠B = 90 ∘

Рассмотрим △ABD:

∠A = 90 ∘ ∠B = 80 ∘. Сумма углов треугольника равна 180.

∠D = 180 ∘ − (90 ∘ + 80 ∘) = 10 ∘

∠B = ∠D = 10 ∘ (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей)

∠DBC = ∠BDA = 10 ∘ (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей)

∠C = 180 ∘ − (10 ∘ + 10 ∘) = 160 ∘

Если две стороны треугольника равны, то его называют равнобедренным.

△BCD является равнобедренным.

Так как у равнобедренного треугольника углы при основании равны, то ∠BDC = ∠CBD = 10 ∘

∠CDA = 10 ∘ + 10 ∘ = 20 ∘

∠A = 90 ∘ , ∠B = 90 ∘ , ∠C = 160 ∘ , ∠D = 20 ∘

Задание 239

В трапеции ABCD меньшее основание ВС равно 6 см. Через вершину В проведена прямая, которая параллельна стороне CD и пересекает сторону AD в точке М. Найдите периметр трапеции, если периметр треугольника АВМ равен 16 см.

Ответ:

Дано: BC = 6

BM ∥ CD

BM ∩ AD = M

PABM = 16 см

Найти: P ABCD

Рассмотрим BMDC.

BM ∥ CD, BC ∥ MD (как отрезки, лежащие на параллельных основаниях трапеции). BMDC-параллелограмм.

BM = CD и BC = MD.

PABCD = AB + BC + CD + AD

AD = AM + MD

PABCD = AB + BC + CD + AM + MD

PABCD = AB + BC + CD + AM + BC = AB + CD + AM + 2BC

PABCD = AB + BM + AM + 2BC

PABCD = 16 + 2BC

PABCD = 16 + 2 ⋅ 6 = 28 см

Задание 240

Через вершину С трапеции ABCD проведена прямая, которая параллельна боковой стороне АВ и пересекает большее основание AD в точке Е. Найдите углы трапеции, если ∠D = 35°, ∠DCE = 65°.

Ответ:

Дано:

CE ∥ AB и CE ∩ AD = E

∠D = 35 ∘, ∠DCE = 65 ∘

Найти: ∠A ∠B ∠C

Трапецией называют четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

CE ∥ AB

BC ∥ AE- как отрезки, лежащие на параллельных основаниях трапеции.

АВСЕ-параллелограмм.

∠A = ∠BCE

∠B = ∠AEC

∠AEC-внешний в △ECD. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

∠AEC=65 ∘ + 35 ∘ = 100 ∘

∠B = ∠AEC = 100 ∘

∠ABC и ∠ECB- являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей.

Сумма внутренних односторонних углов равна 180.

∠ABC+∠ECB = 180

∠ECB= 180 − ∘ ∠ABC

∠ECB= 180 ∘ − 100 ∘ = 80 ∘

∠A = ∠BCE = 80 ∘

∠BCD = 80 ∘ + 65 ∘ = 145 ∘

∠A = 80 ∘ ,∠B = 100 ∘, ∠C = 145 ∘

Задание 241

Основания трапеции равны 9 см и 15 см. Чему равна её средняя линия?

Ответ:

MK =BC + AD:2

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

MK =9 + 15:2=12 см -средняя линия трапеции ABCD.

Задание 242

Средняя линия трапеции равна 8 см, а одно из оснований — 5 см. Найдите второе основание трапеции.

Ответ:

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

MK =BC + AD:2

8 = 5 + AD:2

AD = 8 ⋅ 2 − 5 = 11 см

Задание 243

Одно из оснований трапеции на 8 см больше другого, а средняя линия равна 17 см. Найдите основания трапеции.

Ответ:

Пусть ВС=х см

AD = (x + 8)

MK =BC + AD:2

17 =(x + x + 8) : 2

2x = 17 ⋅ 2 -8

2x = 26

Х=13

BC = 13 см

AD = 13 + 8 = 21 см

Задание 244

Основания трапеции относятся как 3 : 4, а средняя линия равна 14 см. Найдите основания трапеции.

Ответ:

BC ∥ AD-основания трапеции

МК-средняя линия

BC=3х

Тогда AD =4х

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

14 = (3х+4х):2

7x = 14 ⋅ 2

7x = 28

Х=4

BC = 3 ⋅ 4 = 12 см

AD = 4 ⋅ 4 = 16 см

Задание 245

Каждая из боковых сторон трапеции ABCD (рис. 75) разделена на четыре равные части: АЕ = EF = FK = KB, DN = NM = MP = PC. Найдите отрезки EN, ЕМ и КР, если AD = 19 см, ВС= 11 см.

Ответ:

KP, FM ,EN являются средними линиями трапеций соответственно FBCM ,ABCD, AFMD.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме

FM=11+19:2=15 см

KP = 11+15:2=15 см

EN=15+19:2=17 см

Задание 246

Высота прямоугольной трапеции, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки длиной 7 см и 5 см, считая от вершины прямого угла. Найдите среднюю линию трапеции.

Ответ:

AD = 7 + 5 = 12 см

CH ⊥ AD и BA ⊥ AD

ABCH-прямоугольник

BC = AH = 7 см

MK = (MK =АД):2= (7+12):2=9,5 см.

Задание 247

Средняя линия прямоугольной трапеции равна 9 см, а высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки, один из которых в 2 раза больше другого, считая от вершины прямого угла. Найдите основания трапеции.

Ответ:

Трапецией называют четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон

CH ⊥ AD и  BA ⊥ AD

Пусть HD=х см

AH = 2x

AD = 2x + x = 3x

BC = AH = 2x (как сторона прямоугольника)

MK =9 см

5x = 9 ⋅ 2

5x = 18

x = 3, 6 см

BC = 2 ⋅ 3, 6 = 7, 2 см

AD = 3 ⋅ 3, 6 = 10, 8 см

Задание 248

Диагонали равнобокой трапеции ABCD (АВ = CD) пересекаются в точке О. Докажите, что АО = OD и ВО =ОС.

Ответ:

1) Построим трапецию ABCD, AB = CD

2) Проведём диагонали трапеции

3) Точка О пересечения диагоналей

AB = CD

ВС общая

AC = DB

△ABC = △DCB (Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны)

∠CAD = ∠BDA, AO = OD

Аналогично BO = OC

ЧТД.