Геометрия 8 класс учебник Мерзляк Трапеция страница 48

Задание 220

Периметр равнобокой трапеции равен 52 см, основания — 13 см и 21 см. Найдите боковую сторону трапеции.

Ответ:

Дано:

Равнобедренная трапеция;

Периметр данной трапеции равен 52 см;

Основания данной трапеции равны 13 см и 21 см.

Найти: Боковую сторону трапеции.

Трапецией называют четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

ABCD

AB = CD ,BC ∥ AD

BC = 13 ,AD = 21

P ABCD = AB + BC + CD + AD = 52 см

P ABCD = AB + BC + CD + AD = 2 ⋅ AB + BC + AD = 52 см.

BC = 13 см, AD = 21 см.

PABCD = 2 ⋅ AB + BC + AD = 2 ⋅ AB + 13 см + 21 см = 2 ⋅ AB + 34 см = 52 см

2 ⋅ AB = 52 – 34 см

2 ⋅ AB = 18 см

AB =9 см

Задание 221

Периметр трапеции равен 49 см, боковые стороны — 5,6 см и 7,8 см. Найдите основания трапеции, если одно из них на 7,4 см больше другого.

Ответ:

Трапецией называют четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны трапеции называют основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами.

Пусть длина меньшего основания трапеции будет х см.

x + 7, 4 см

x + x + 7, 4 + 5, 6 + 7, 8 = 49 см

Решим полученное уравнение.

x + x + 7, 4 + 5, 6 + 7, 8 = 49

2x + 20, 8 = 49

2x = 49 − 20, 8

2x = 28, 2

x = 28, 2 : 2

x = 14, 1 см – меньшее основание

14, 1 + 7, 4 = 21, 5 см – большее основание.

Задание 222

Найдите углы Ли С трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если ∠B = 132°, ∠D = 24°.

Ответ:

Дано: ∠B = 132 ∘ ,∠D = 24 ∘

BC ∥ AD, AB-секущая.

Углы А и В — односторонние, значит ∠A = 180 ∘ − 132 ∘ = 48

BC ∥ AD ,CD-секущая. Углы С и D — односторонние, значит ∠C = 180 ∘ − 24 ∘ = 156.

Ответ: ∠ A = 48 , ∘ ∠C = 156 ∘

Задание 223

Найдите углы трапеции ABCD, прилежащие к боковой стороне АВ, если угол А меньше угла В на 38°.

Ответ:

Трапецией называют четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называют основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами.

BC ∥ AD

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма углов, образующих пару односторонних углов равна 180 .

Пусть величина угла В будет = х.

Величина А: (x − 38) ∘

x + x − 38 = 180

2x − 38 = 180

2x = 180 + 38

2x = 218

x = 218 : 2

x = 109 – угол В

109 − 38 = 71-угол А

Задание 224

Найдите углы трапеции ABCD, прилежащие к боковой стороне CD, если ∠C:∠D = 8:7.

Ответ:

∠C : ∠D = 8 : 7

С и Д-?

Параллельные стороны трапеции называют основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами.

BC ∥ AD ,CD-секущая. ∠C + ∠D = 180 ∘ (т.к односторонние)

Пусть одна часть будет = х, тогда С=8х, Д=7х.

8x + 7x = 180

15x = 180

x = 180 : 15

х=12

Угол С= 8 ⋅ 12 = 96 градусов

Угол Д= 7 ⋅ 12 = 84 градуса.

Задание 225

Один из углов равнобокой трапеции равен 46°. Найдите остальные её углы.

Ответ:

В равнобокой трапеции ABCD острый угол D = 46 гр.

∠A = 46 ∘ (по свойству углов при основании равнобедренной трапеции равны)

(360 − (46 + 46)) : 2 = (360 − 92) : 2 = 268 : 2 = 134

∠В = 134 ∘

∠С = 134 ∘

Задание 226

Найдите углы равнобокой трапеции, если разность её противолежащих углов равна 20°.

Ответ:

∠C — ∠A = 20 ∘ (противолежащие)

Пусть A=х гр.

∠C = (x + 20) ∘

∠D = ∠A = x ∘ ∠B = ∠C = (x + 20) ∘

x + x + x + 20 + x + 20 = 360

4x + 40 = 360

4x = 360 − 40

4x = 320

x = 320 : 4

x = 80

∠A = 80 ∘, ∠D = 80

∠B = 100 ∘, ∠C = 100 ∘

Задание 227

В равнобокой трапеции угол между боковой стороной и высотой, проведённой из вершины тупого угла, равен 23°. Найдите углы трапеции.

Ответ:

Дано:

ABCD – трапеция

BC ∥ AD ,BH ⊥ AD, BH ⊥ BC

∠ABH = 23 ∘

∠A=180 − (23 + 90) = 180 − 113 = 67

∠ABC = ∠ABH + ∠HBC

∠ABC = 23 ∘ + 90 ∘ = 113

∠C = ∠B = 113 ∘

∠D = ∠A = 67 ∘

Задание 228

Могут ли у трапеции быть: 1) три прямых угла; 2) три острых угла; 3) два противолежащих угла тупыми; 4) два противолежащих угла прямыми; 5) два противолежащих угла равными?

Ответ:

1. Сумма углов четырёхугольника равна 360 ∘

360 ∘ − (90 ∘ + 90 ∘ + 90 ∘) = 90 ∘

Четыре прямых угла имеют квадрат и прямоугольник. Три прямых угла у трапеции быть не может.

2) НЕ может, т.к из трех углов два обязательно будут при одной из боковых сторон, а сумма двух острых углов меньше 180 градусов.

3) Могут.

4) НЕ может, т.к 180-90=90, т.е только квадрат.

5) Два противолежащих угла равными у трапеции быть не могут.

Задание 229

Могут ли: 1) основания трапеции быть равными; 2) диагонали трапеции точкой пересечения делиться пополам?

Ответ:

Трапецией называют четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны называют основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. Если в четырёхугольнике две противолежащие стороны параллельны и равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Основания трапеции не могут быть равными.Диагонали не могут делится точкой пересечения пополам в трапеции.

Задание 230

Докажите, что если углы при одном из оснований трапеции равны, то данная трапеция является равнобокой.

Ответ:

Дано:

ABCD-трапеция

∠A = ∠D

Доказать: ABCD

равнобедренная трапеция.

BC ∥ AD; ∠A = ∠D

BH ⊥ AD; CK ⊥ AD-высоты

BC ∥ AD, тогда BH = CK.

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны

∠H = ∠D = 90 ∘, ∠A = ∠D; BH = CK ⇒ △BHA = △CKD (по катету и острому углу).

Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны.

△BHA = △CKD ⇒ AB = CD, ABCD- равнобедренная трапеция.

Задание 231

Докажите, что сумма противолежащих углов равнобокой трапеции равна 180°. Верно ли обратное утверждение: если сумма противолежащих углов трапеции равна 180°, то данная трапеция равнобокая.

Ответ:

AB = CD

∠A + ∠C = 180 ∘

∠A = ∠D ∠B = ∠C

∠A = ∠D = α

∠A + ∠B = 180 ∘

∠B = 180 ∘ − α

∠B = ∠C

∠C = 180 ∘ − α

∠A + ∠C = α + 180 ∘ − α = 180 ∘

∠A + ∠C = 180, ∠A = α, ∠C = 180 ∘ − α

∠C + ∠D = 180 ∘ — односторонние углы при параллельных прямых и секущей.

∠D = 180 ∘ − ∠С = 180 ∘ − (180 ∘ − α) = 180 ∘ − 180 ∘ + α = α

∠A = ∠D = α

Углы при основании трапеции равны, значит, трапеция равнобокая.

∠A + ∠B = 180 ∘

Задание 232

Средняя линия равностороннего треугольника со стороной 6 см разбивает его на треугольник и четырёхугольник. Определите вид четырёхугольника и найдите его периметр.

Ответ:

По свойству средней линии MN – это половина АС.

MN=6:2=3 см

AM=3 см, NC=3 см — По определению средней линии треугольника

PAMNC = 6 + 3 + 3 + 3 = 15 см

MN ∥ AC- по свойству средней линии треугольника, AM ∦ NC.

Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны называется трапецией.

Четырёхугольник является трапецией. Периметр трапеции равен 15 см.

Задание 233

Высота равнобокой трапеции, проведённая из конца меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 6 см и 10 см. Найдите основания трапеции.

Ответ:

Дано:

ABCD – трапеция, BC ∥ AD, BH ⊥ AD

AD = AH + HD

AD = 6 + 10 = 16 см

Высота равнобокой трапеции, проведённая из вершины тупого угла, делит основание трапеции на два отрезка, меньший из которых равен полуразности оснований, а больший — полусумме оснований.

Пусть меньшее основание трапеции будет х см.

Составим уравнение, используя свойство равнобокой трапеции для большего отрезка:

Х+16:2=10

Х+16=20

Х=4 см

Большее основание равнобокой трапеции равно 16 см, меньшее 4 см.

Задание 234

Один из углов равнобокой трапеции равен 60°, боковая сторона равна 18 см, а сумма оснований — 50 см. Найдите основания трапеции.

Ответ:

Параллельные стороны называют основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами.

AB = CD-боковые

AD , BC-основание

Высотой трапеции называют перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой, содержащей одно из оснований на прямую, содержащую другое основание.

BH ⊥ AD

∠A = 60 ∘, ∠H = 90 ∘

Сумма углов треугольника равна 180

∠ABH = 180 ∘ − (90 ∘ + 60 ∘) = 30 ∘

AH=половине АВ=18:2=9 см

HD=25 см

AD = AH + HD = 9 + 25 = 34 см

BC = 50 − 34 = 16 см