Геометрия 8 класс учебник Мерзляк Трапеция страница 43

§ 8. Трапеция

Задание 213

В треугольнике ABC известно, что АВ = ВС, ZВ = 32°, АК — биссектриса треугольника. Через точку К проведена прямая, параллельная АВ, которая пересекает сторону АС в точке М. Найдите угол АКМ.

Ответ:

Дано: △ABC

AB = BC

∠B = 32 ∘

AK – биссектриса

M ∈ AC; K ∈ BC; MK ∥ BA

∠AKM − ?

△ABC AB = BC, AK-биссектриса АВС.

M ∈ AC; K ∈ BC, MK ∥ BA.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, △ABC-равнобедренный.

∠A = ∠C= (180 – 32):2=74 гр.

MK ∥ BA ,AK-секущая, значит, ∠BAK = ∠AKM (накрест лежащие углы.)

∠AKM = ∠BAK= половине ∠A=74:2=37 градусов

Задание 214

Диагональ BD параллелограмма ABCD является его высотой и равна стороне ВС. Найдите сторону CD параллелограмма, если точка В удалена от прямой CD на 4 см.

Ответ:

Дано:

BK ⊥ CD; BK = 4 см

BD = BC

CD − ?

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

AB ∥ CD; BC ∥ AD

BD ⊥ AD, ВD-диагональ. BD = BC.

∠BDC = 180 ∘ − ∠CBD : 2 = 180 ∘ − 90 : ∘ 2 = 45 ∘

∠DBK = 180 ∘ − ∠BDK − ∠BKD = 180 ∘ − 90 ∘ − 45 ∘ = 45 ∘

∠BDK = ∠DBK = 45 ∘ ⇒ △BDK равнобедренный ⇒ BK = DK = 4 см

Аналогично BK = CK = 4 см.

CD = CK + DK = 4 + 4 = 8 см.

Задание 215

Пять точек принадлежат равностороннему треугольнику, сторона которого равна 1 см. Докажите, что из этих точек можно выбрать две, расстояние между которыми не более 0,5 см.

Ответ:

Дано:

Равносторонний треугольник.

Сторона треугольника равна 1  см.

Пять точек принадлежат треугольнику.

Доказать: что из этих точек можно выбрать две, расстояние между которыми не более 0,5 см.

Равносторонним называют треугольник, все стороны которого равны.

Средние линии треугольника разбивают его на четыре треугольника. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Все треугольники равносторонние, с длиной стороны 0,5 см. Так можно поставить только четыре точки внутри каждого из четырёх треугольников. Пятая точка, куда бы мы её не поставили, попадёт в один из четырёх треугольников, а значит между ней и точкой, ранее поставленный в этот треугольник, будет расстояние не более 0, 5 см. Что и требовалось доказать.