Геометрия 8 класс учебник Мерзляк Средняя линия треугольника страница 42
Тип: ГДЗ, Решебник.
Год: 2013,2015,2016,2017.
Издательство: «Вентана-Граф»
Серия: «Алгоритм успеха»
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
✔ Готовое домашнее задание с подробным решением
Задание 200
Найдите углы треугольника, две средние линии которого равны и перпендикулярны.
Ответ:
Две средние линии треугольника равны и перпендикулярны.
Найти: Углы данного треугольника.
Вспомним определение средней линии треугольника. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Построим две средние линии треугольника, которые равны и перпендикулярны. MN = NK ,MN ⊥ NK.
∠MNK = 90 ∘
MN = NK
MNK-равнобедренный
∠MKN = ∠NMK = 45 ∘
MN = BK = KC
NK = AM = MB
MN = NK = BK = KC = AM = MB
AM = NK ,MN = KC ,AN = NC
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
△AMN = △KNC (по третьему признаку равенства треугольников).
Значит, этот четырёхугольник — квадрат.
∠MAN = ∠MNA = (180 − 90 ): 2 = 90 : 2 = 45 ∘
∠KNC = ∠NCK = ∠MAN = ∠MNA = 45 ∘
∠ABC = 180 ∘ − ∠BAC − ∠ACB = 180 ∘ − 45 ∘ − 45 ∘ = 90 ∘
∠BAC = 45 ∘ ∠ACB = 45 ∘ ∠ABC = 90
Задание 201
Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна 6 см. Найдите стороны данного треугольника если его периметр равен 46 см.
Ответ:
AB = AC
AM = MB = AN = NC
MN ∥ BC, MN=6 см
BC = 2 ⋅ MN = 2 ⋅ 6 = 12 см
P△ABC = AB + BC + AC = 12 + 2 ⋅ AC = 46 см
2 ⋅ AC = 46 – 12 см
2 ⋅ AC = 34 см
AC = 17 см
Задание 202
Сумма диагоналей четырёхугольника равна 28 см. Найдите периметр четырёхугольника, вершины которого являются серединами сторон данного четырёхугольника.
Ответ:
Дано: АВСД
ВД+АС=28 см
АМ=МВ, СК=КД
ДР=ДА
Найти: периметр МNКР
BD + AC = 28 см (диагонали)
AM = MB
BN = NC
CK = KD
AP = PD
P MNKP = MN + NK + KP + MP=28 см.
Задание 203
Вершинами четырёхугольника являются середины сторон ромба с диагоналями 8 см и 14 см. Определите вид четырёхугольника и найдите его стороны.
Ответ:
Дано:
ABCD-ромб
AC ⊥ BD
AC = 14 см, BD = 8см
AN = NB = BK = KC = CP = PD = AM = MD
MN= КР=8:2=4
NK=МР=7 см
КР=4 см
Задание 204
Вершинами четырёхугольника являются середины сторон прямоугольника с диагональю 12 см. Определите вид четырёхугольника и найдите его стороны.
Ответ:
Дано:
Прямоугольник;
Диагональ прямоугольника равна 12 см
Найти:
Вид четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного прямоугольника; Стороны полученного четырёхугольника.
AC = BD=12 см –диагонали
AM = MB = CK = KD
BN = NC = AS = SD
AM = MB и AS = SD, MS-средняя линия
MS ∥ BD
MN ∥ AC
MN =12:2=6 см
NK ∥ BD
NK =12:2=6 см
SK ∥ AC
SK =12:2=6 см
MNKS-параллелограмм (т.к MS ∥ NKи MN ∥ SK)
MN = NK = KS = MS = 6 см.
MNKS-ромб
Задание 205
Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, на которой лежит его средняя линия.
Ответ:
AM = MB и BN = NC
MN-ср. Линия
AK ⊥ a
BP ⊥ a
CT ⊥ a
∠AKM = ∠MPB = 90 ∘
AM = MB
∠AMK = ∠BMP (вертикальные)
△AKM = △MBP, AK = BP
∠BPN = ∠NTC = 90 ∘
BN = NC (т.к средняя линия MN)
∠BNP = ∠CNT (вертикальные)
△BPN = △TNC, TC = BP
Получили, что вершины треугольника равноудалены от прямой, на которой лежит его средняя линия.
AK = BP = TC
Задание 206
На сторонах АВ и ВС треугольника ABC отмечены соответственно точки М и К так, что AM — ЗВМ, СК = 3ВК. Докажите, что МК || АС, и найдите МК, если АС =16 см.
Ответ:
AM = 3 ⋅ BM CK = 3 ⋅ BK
AB = AM + BM = 3 ⋅ BM + BM = 4 ⋅ BM
BC = BK + CK = BK + 3 ⋅ BK = 4 ⋅ BK
Проведём среднюю линию
AS = SB
BT = TC
AS = SB = 2 ⋅ BM
BT = TC = 2 ⋅ BK
МК-средняя линия.
ST ∥ AC, ST=8:2=4 см (по теореме о средней линии треугольника.)
MK ∥ ST, MK 8:2=4 см(по теореме о средней линии треугольника.)
Задание 207
Углы BAD и ВСЕ — внешние углы треугольника ABC. Из вершины В проведены перпендикуляры ВМ и ВК к биссектрисам углов BAD и ВСЕ соответственно. Найдите отрезок МК, если периметр треугольника ABC равен 18 см.
Ответ:
∠BAD, ∠BCE-внешние
BD ⊥ AM, BE ⊥ CK
BD ⊥ AM
АМ-биссектриса
AB = AD, BM = MD
BE ⊥ CK, СК-биссектриса
CB = CE, BK = KE
BM = MD , BK = KE, МК-ср.линия
MK=(DA + AC + CE):2
MK=P△ABC:2=18:2=9 см
Задание 208
Постройте треугольник по серединам трёх его сторон
Ответ:
Поставим точки M,N,P. Через M и N проведем прямую.
Проведём окружность с центром в точке Р , пересекающую прямую в двух точках MN.
KT перпендикулярна прямой MN.
Из точек Д и Е как из центров окружностей построим две пересекающиеся окружности.
MN ⊥ KT
p ∥ MN
NP ⊥ RS, m ⊥ RS, m ∥ NP
MP ⊥ QL,n ⊥ QL, n ∥ MP.
обозначим точки пересечения прямых m, n, p буквами X, Y , Z.
XY Z-искомый треугольник.
Задание 209
Постройте параллелограмм по серединам трёх его сторон.
Ответ:
Проведём отрезки QP и QR.
Через середину QP проведем а, чрез середину QR — в.
α ∥ QR, в∥ QR.
О-точка пересечения. Из нее проведем окружность , радиусом равную QP.
Соединим отрезки AB, BC, CD, AD.
AC и BD-диагонали, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
АВСД-параллелограмм
Задание 210
Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны. Через середины сторон АВ и AD проведены прямые, перпендикулярные соответственно сторонам DC и ВС. Докажите, что точка пересечения проведённых прямых принадлежит прямой АС.
Ответ:
AM = MB, DN = AN, NK ⊥ BC, ML ⊥ DC, ML ∩ KN = P
Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.
Построим отрезки MN, MO, NO.
AM = MB, DN = AN. MN ∥ BD.
AM = MB ,AO = OC. MO ∥ BC
AN = ND, AO = OC. NO ∥ CD
NO ∥ CD, ML ⊥ CD
MO ∥ BC, NK ⊥ BC
MN ∥ BD ,AC ⊥ BD
Высоты треугольника пересекаются в одной точке. Значит, прямые ML ,NK и AC пересекаются в одной точке. Следовательно, точка Р принадлежит прямой AC.
Высоты MNO лежат на прямых ML ,NK, AC. P ∈ AC.
Задание 211
Стороны АВ и CD выпуклого четырёхугольника ABCD равны. Через середины диагоналей АС и BD проведена прямая, которая пересекает стороны АВ и CD в точках М и N соответственно. Докажите, что ∠BMN= ∠CNM.
Ответ:
Дано:
AB = CD
ABCD-выпуклый четырёхугольник
Найти:
AB = CD ,AK = KC ,BL = LD. PK-средняя линия, значит, PK ∥ AB. BL = LD, BP = PC, значит, PL ∥ CD, т.к
PL средняя линия.
PK = PL (т.к АВ=СД)
Значит, PKL- равнобедренный треугольник, ∠PKL = ∠PLK.
∠PKN = ∠BMN (при параллельных прямых PK AB и секущей MN). ∠PLM = ∠CNM.,.,
∠PKN = ∠PLM ,∠PKN = ∠BMN ,∠PLM = ∠CNM.
Следовательно, ∠BMN = ∠CNM.
Задание 212
К окружности с центром О через точку С проведены касательные СА и С В (А и В — точки касания). Отрезок AD — диаметр окружности. Докажите, что BD || СО.
Ответ:
Доказать: BD ∥ CO
Дано: CB и СА-касательные
∠OAC = 90 ∘ ∠OBC = 90 ∘ (по свойству касательных (касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания)).
△AOC и △BOC- прямоугольные треугольники.
△AOC = △BOC по катету и гипотенузе
∠AOC = ∠COB = α
∠AOD = ∠AOC + ∠COB + ∠BOD = 180 ∘
∠BOD = 180 ∘ − ∠AOC − ∠COB = 180 ∘ − α − α = 180 ∘ − 2α
△OBD- равнобедренный треугольник, ∠ODB = ∠OBD
∠ODB = (180 ∘ − ∠BOD) : 2 = (180 ∘ − (180 ∘ − 2α)) : 2 = 2α : 2 = α
∠ODB = ∠AOC- соответственные углы при параллельных прямых BD и CO и секущей AD.
Значит, BD ∥ CO.