Геометрия 8 класс учебник Мерзляк Средняя линия треугольника страница 42

Геометрия 8 класс учебник Мерзляк

Тип: ГДЗ, Решебник.

Год: 2013,2015,2016,2017.

Издательство: «Вентана-Граф»

Серия: «Алгоритм успеха»

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.

Ответы на задания к странице 42. Геометрия 8 класс учебник

✔ Готовое домашнее задание с подробным решением

Задание 200

Найдите углы треугольника, две средние линии которого равны и перпендикулярны.

Ответ:

Две средние линии треугольника равны и перпендикулярны.

Найти: Углы данного треугольника.

Вспомним определение средней линии треугольника. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Построим две средние линии треугольника, которые равны и перпендикулярны. MN = NK ,MN ⊥ NK.

∠MNK = 90 ∘

MN = NK

MNK-равнобедренный

∠MKN = ∠NMK = 45 ∘

MN = BK = KC

NK = AM = MB

MN = NK = BK = KC = AM = MB

AM = NK ,MN = KC ,AN = NC

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

△AMN = △KNC (по третьему признаку равенства треугольников).

Значит, этот четырёхугольник — квадрат.

∠MAN = ∠MNA = (180 − 90 ): 2 = 90 : 2 = 45 ∘

∠KNC = ∠NCK = ∠MAN = ∠MNA = 45 ∘

∠ABC = 180 ∘ − ∠BAC − ∠ACB = 180 ∘ − 45 ∘ − 45 ∘ = 90 ∘

∠BAC = 45 ∘ ∠ACB = 45 ∘ ∠ABC = 90

Задание 201

Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна 6 см. Найдите стороны данного треугольника если его периметр равен 46 см.

Ответ:

AB = AC

AM = MB = AN = NC

MN ∥ BC, MN=6 см

BC = 2 ⋅ MN = 2 ⋅ 6 = 12 см

P△ABC = AB + BC + AC = 12 + 2 ⋅ AC = 46 см

2 ⋅ AC = 46 – 12 см

2 ⋅ AC = 34 см

AC = 17 см

Задание 202

Сумма диагоналей четырёхугольника равна 28 см. Найдите периметр четырёхугольника, вершины которого являются серединами сторон данного четырёхугольника.

Ответ:

Дано: АВСД

ВД+АС=28 см

АМ=МВ, СК=КД

ДР=ДА

Найти: периметр МNКР

BD + AC = 28 см (диагонали)

AM = MB

BN = NC

CK = KD

AP = PD

P MNKP = MN + NK + KP + MP=28 см.

Задание 203

Вершинами четырёхугольника являются середины сторон ромба с диагоналями 8 см и 14 см. Определите вид четырёхугольника и найдите его стороны.

Ответ:

Дано:

ABCD-ромб

AC ⊥ BD

AC = 14 см, BD = 8см

AN = NB = BK = KC = CP = PD = AM = MD

MN= КР=8:2=4

NK=МР=7 см

КР=4 см

Задание 204

Вершинами четырёхугольника являются середины сторон прямоугольника с диагональю 12 см. Определите вид четырёхугольника и найдите его стороны.

Ответ:

Дано:

Прямоугольник;

Диагональ прямоугольника равна 12 см

Найти:

Вид четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного прямоугольника; Стороны полученного четырёхугольника.

AC = BD=12 см –диагонали

AM = MB = CK = KD

BN = NC = AS = SD

AM = MB и AS = SD, MS-средняя линия

MS ∥ BD

MN ∥ AC

MN =12:2=6 см

NK ∥ BD

NK =12:2=6 см

SK ∥ AC

SK =12:2=6 см

MNKS-параллелограмм (т.к MS ∥ NKи  MN ∥ SK)

MN = NK = KS = MS = 6 см.

MNKS-ромб

Задание 205

Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, на которой лежит его средняя линия.

Ответ:

AM = MB и BN = NC

MN-ср. Линия

AK ⊥ a

BP ⊥ a

CT ⊥ a

∠AKM = ∠MPB = 90 ∘

AM = MB

∠AMK = ∠BMP (вертикальные)

△AKM = △MBP, AK = BP

∠BPN = ∠NTC = 90 ∘

BN = NC (т.к средняя линия MN)

∠BNP = ∠CNT (вертикальные)

△BPN = △TNC, TC = BP

Получили, что вершины треугольника равноудалены от прямой, на которой лежит его средняя линия.

AK = BP = TC

Задание 206

На сторонах АВ и ВС треугольника ABC отмечены соответственно точки М и К так, что AM — ЗВМ, СК = 3ВК. Докажите, что МК || АС, и найдите МК, если АС =16 см.

Ответ:

AM = 3 ⋅ BM CK = 3 ⋅ BK

AB = AM + BM = 3 ⋅ BM + BM = 4 ⋅ BM

BC = BK + CK = BK + 3 ⋅ BK = 4 ⋅ BK

Проведём среднюю линию

AS = SB

BT = TC

AS = SB = 2 ⋅ BM

BT = TC = 2 ⋅ BK

МК-средняя линия.

ST ∥ AC, ST=8:2=4 см (по теореме о средней линии треугольника.)

MK ∥ ST, MK 8:2=4 см(по теореме о средней линии треугольника.)

Задание 207

Углы BAD и ВСЕ — внешние углы треугольника ABC. Из вершины В проведены перпендикуляры ВМ и ВК к биссектрисам углов BAD и ВСЕ соответственно. Найдите отрезок МК, если периметр треугольника ABC равен 18 см.

Ответ:

∠BAD, ∠BCE-внешние

BD ⊥ AM, BE ⊥ CK

BD ⊥ AM

АМ-биссектриса

AB = AD, BM = MD

BE ⊥ CK, СК-биссектриса

CB = CE, BK = KE

BM = MD , BK = KE, МК-ср.линия

MK=(DA + AC + CE):2

MK=P△ABC:2=18:2=9 см

Задание 208

Постройте треугольник по серединам трёх его сторон

Ответ:

Поставим точки M,N,P. Через M и N проведем прямую.

Проведём окружность с центром в точке Р , пересекающую прямую в двух точках MN.

KT перпендикулярна прямой MN.

Из точек Д и Е как из центров окружностей построим две пересекающиеся окружности.

MN ⊥ KT

p ∥ MN

NP ⊥ RS, m ⊥ RS, m ∥ NP

MP ⊥ QL,n ⊥ QL, n ∥ MP.

обозначим точки пересечения прямых m, n, p буквами X, Y , Z.

XY Z-искомый треугольник.

Задание 209

Постройте параллелограмм по серединам трёх его сторон.

Ответ:

Проведём отрезки QP и QR.

Через середину QP проведем а, чрез середину QR — в.

α ∥ QR, в∥ QR.

О-точка пересечения. Из нее проведем окружность , радиусом равную QP.

Соединим отрезки AB, BC, CD, AD.

AC и BD-диагонали, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

АВСД-параллелограмм

Задание 210

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны. Через середины сторон АВ и AD проведены прямые, перпендикулярные соответственно сторонам DC и ВС. Докажите, что точка пересечения проведённых прямых принадлежит прямой АС.

Ответ:

AM = MB, DN = AN, NK ⊥ BC, ML ⊥ DC, ML ∩ KN = P

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Построим отрезки MN, MO, NO.

AM = MB, DN = AN. MN ∥ BD.

AM = MB ,AO = OC. MO ∥ BC

AN = ND, AO = OC. NO ∥ CD

NO ∥ CD, ML ⊥ CD

MO ∥ BC, NK ⊥ BC

MN ∥ BD ,AC ⊥ BD

Высоты треугольника пересекаются в одной точке. Значит, прямые ML ,NK и AC пересекаются в одной точке. Следовательно, точка Р принадлежит прямой AC.

Высоты MNO лежат на прямых ML ,NK, AC. P ∈ AC.

Задание 211

Стороны АВ и CD выпуклого четырёхугольника ABCD равны. Через середины диагоналей АС и BD проведена прямая, которая пересекает стороны АВ и CD в точках М и N соответственно. Докажите, что BMN= CNM.

Ответ:

Дано:

AB = CD

ABCD-выпуклый четырёхугольник

Найти:

AB = CD ,AK = KC ,BL = LD. PK-средняя линия, значит, PK ∥ AB. BL = LD, BP = PC, значит, PL ∥ CD, т.к

PL средняя линия.

PK = PL (т.к АВ=СД)

Значит, PKL- равнобедренный треугольник, ∠PKL = ∠PLK.

∠PKN = ∠BMN (при параллельных прямых PK AB и секущей MN). ∠PLM = ∠CNM.,.,

∠PKN = ∠PLM ,∠PKN = ∠BMN ,∠PLM = ∠CNM.

Следовательно, ∠BMN = ∠CNM.

Задание 212

К окружности с центром О через точку С проведены касательные СА и С В (А и В — точки касания). Отрезок AD — диаметр окружности. Докажите, что BD || СО.

Ответ:

Доказать: BD ∥ CO

Дано: CB и СА-касательные

∠OAC = 90 ∘ ∠OBC = 90 ∘ (по свойству касательных (касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания)).

△AOC и △BOC- прямоугольные треугольники.

△AOC = △BOC по катету и гипотенузе

∠AOC = ∠COB = α

∠AOD = ∠AOC + ∠COB + ∠BOD = 180 ∘

∠BOD = 180 ∘ − ∠AOC − ∠COB = 180 ∘ − α − α = 180 ∘ − 2α

△OBD- равнобедренный треугольник, ∠ODB = ∠OBD

∠ODB = (180 ∘ − ∠BOD) : 2 = (180 ∘ − (180 ∘ − 2α)) : 2 = 2α : 2 = α

∠ODB = ∠AOC- соответственные углы при параллельных прямых BD и CO и секущей AD.

Значит, BD ∥ CO.