Геометрия 8 класс учебник Мерзляк Средняя линия треугольника страница 41

Задание 189

Является ли отрезок MK средней линией △ABC?

Ответ:

Найти: Является ли отрезок MK средней линией △ABC?

Дано: △ABC

AM = 4 см, MB = 4 см, AK = 3см, KC = 3 см

Найти: Является ли отрезок MK средней линией △ABC?

Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

AM = MB = 4 см

AK = KC = 3 см

Отрезок соединяет середины сторон AB и AC.

Можем сделать вывод, что MK — средняя линия △ABC.

Задание 190

Является ли отрезок EF средней линией треугольника МКР (рис. 60)?

Ответ:

Дано: △MKP

KF = 2 см,FP = 3 см, ME = 5см, EP =5 см.

Найти: EF-средняя линия △MKP-?

Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

KF = 2 см, FP = 3 см.

ME = EP = 5 см, значит точка Е-середина стороны MP.

Отрезок EF соединяет середину стороны и точку, лежащую на стороне. Можем сделать вывод, что EF не является средней линией.

Задание 191

Отрезки DE и DF — средние линии треугольника ABC (рис. 61). Является ли отрезок ЕЕ средней линией этого треугольника?

Ответ:

Дано:

DE DF- средние линии △ABC.

Найти: Является ли отрезок средней линией  △ABC.

Так как DE — средняя линия , значит точка D середина отрезка AB, а Е-середина ВС.

Так как DF — средняя линия △ABC , значит точка D середина отрезка АВ и точка F-середина АС.

Задание 192

Стороны треугольника равны 6 см, 8 см и 12 см. Найдите средние линии этого треугольника.

Ответ:

Дано: AB = 4 см, BC = 8 см, AC = 12 см.

Найти: Средние линии АВС.

Построим △ABC , в котором AB = 4 см,BC = 8 см,AC=12 см.

AK = KB = 2 см

BL = LC = 4 см

AM = MC =6 см

Соединим середины сторон и получим средние линии KL, LM, KM.

По теореме о средней линии треугольника: KL=6 см, LM=2 см, КМ=4 см.

Задание 193

Точки М и К — середины сторон АВ и АС треугольника ABC соответственно. Найдите периметр треугольника ABC, если периметр треугольника МАК равен 17 см.

Ответ:

Дано:

Точка М— середина стороны АВ , точка К — середина стороны АС;

Периметр МАК = 17 см

Найти: периметр АВС.

Так как точка М — середина стороны АВ , точка К — середина стороны АС, то можем провести среднюю линию в данном треугольника- МК. Средняя линия треугольника, соединяющая серекдины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине. МК= половине ВС.

P△MAK=MA + AK + MK = 17 см.

P△ABC = AB + BC + AC.

P△ABC = AB + BC + AC = 2 ⋅ AM + 2 ⋅ MK + 2 ⋅ AK = = 2 ⋅ (AM + MK + AK) = 2 ⋅ P△MAK = 2 ⋅ 17 = 34 см.

Задание 194

Докажите, что периметр треугольника, стороны которого являются средними линиями треугольника ABC, равен половине периметра треугольника ABC.

Ответ:

Дано:

△ABC

Найти: Доказать, что периметр треугольника, стороны которого являются средними линиями АВС равен половине периметра АВС.

AM = MB BK = KC AP = PC

MK, KP, MP-средние линии.

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

P△ABC = AB + BC + AC.

P△MKP = MK + KP + MP= половине периметра АВС.

Задание 195

Определите вид треугольника, в котором средние линии равны между собой.

Ответ:

AL = LB BM = MC AN = NC.

LM = MN = LN-средние линии.

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

AB = 2 ⋅ MN = 2 ⋅ x

BC = 2 ⋅ LN = 2 ⋅ x

AC = 2 ⋅ LM = 2 ⋅ x

AB = BC = AC, △ABC— равносторонний.

Задание 196

Докажите, что средние линии треугольника разбивают его на четыре равных треугольника.

Ответ:

Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

AR = RB BS = SC AT = TC.

RS, ST, RT-средние линии.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

AR = RB = ST, т.к ST = половине АВ

BS = SC = RT,т.к RT = половине ВС

AT = TC = RS=половине АС.

△ART = △TSC = △RST = △RBS-по третьему признаку равенства треугольников.

Задание 197

Точки Е и F являются соответственно серединами сторон АВ и ВС треугольника ABC. Найдите сторону АС, если она на 7 см больше отрезка EF.

Ответ:

Точки E, F — середины сторон и соответственно;

Найти: АС

AE = EB

BF = FC

EF = половине AC по теореме о средней линии треугольника.

EF = x

AC = 2 ⋅ EF = 2 ⋅ x.

AC = EF + 7 = x + 7

2x = x + 7

Х=7

AC = 2 ⋅ x = 2 ⋅ 7 = 14 см.

Задание 198

Докажите, что средняя линия DE треугольника ABC (точки D и Е принадлежат сторонам АВ и ВС соответственно) и его медиана ВМ точкой пересечения делятся пополам.

Ответ:

AD = DC

BE = EC

BK ∩ DE = O

AK = KC

DK и KE-ср.линии

BEKD- параллелограмм (EK ∥ AB, DK ∥ BC)

DO = OE , BO = OM (По свойству диагоналей параллелограмма, они равны и точкой пересечения делятся пополам)

Задание 199

Докажите, что высота AM треугольника ABC перпендикулярна его средней линии, соединяющей середины сторон АВ и АС.

Ответ:

Дано: АВС

АМ-высота

Доказать, что высота АМ перпендикулярна его средней линии, которая соединяет середины сторон АВ и АС.

AN = NB

AK = KC

NK ∥ BC(Из теоремы о средней линии треугольника)

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

NK ∥ BC, AM ⊥ NK (по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.)