Геометрия 8 класс учебник Мерзляк Квадрат страница 38

Задание 171

Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям. Докажите, что точки пересечения этих прямых являются вершинами квадрата.

Ответ:

Так как диагонали квадрата пересекаются под прямым углом (свойство), то прямые, параллельные диагоналям, также пересекаются под прямым углом. Следовательно, получившаяся фигура — прямоугольник. А так как стороны этого прямоугольника равны диагоналям квадрата, которые равны между собой, то получившийся прямоугольник — квадрат.

Задание 172

В прямоугольном треугольнике через точку пересечения биссектрисы прямого угла и гипотенузы проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что образовавшийся четырёхугольник является квадратом.

Ответ:

По свойству углов параллелограмма  угол С=углу Е т.к. СЕ — биссектриса угла Е

значит угол 1=углу 2 и треугольник СКЕ — равнобедренный

т.е. СК=ЕК

СК=МЕ т.к. СМЕК – параллелограмм, следовательно СМЕК — ромб

Угол С=90 градусов значит угол Е=90 градусов, угол М=углу К= 90градусов.

Задание 173

Точки М, К, N, Р являются соответственно серединами сторон АВ, ВС, CD и AD квадрата ABCD. Докажите, что четырёхугольник MKNP— квадрат.

Ответ:

ABCD – квадрат, M, N, K, Р середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно.

Доказать: MNKР- квадрат

ΔAMР = ΔMBN = ΔCNK = ΔKРD — прямоугольные и равнобедренные, равны по двум катетам

АМ = МВ = ВN = NC = CK = KD = DР = РА, значит, MN = NK = KР = РM ⇒ MNKР — ромб▪ ∠MРK = 180° — ∠AMР — ∠KРD = 180° — 45° — 45° = 90°

Из этого следует, что MNKL — квадрат, что и требовалось доказать.

Задание 174

В треугольнике ABC известно, что ZC = 90°, АС = ВС = 14 см. Две стороны квадрата CDEF лежат на катетах треугольника ABC, а вершина Е принадлежит гипотенузе АВ. Найдите периметр квадрата CD ЕЕ.

Ответ:

АВ=АС=14,

Биссектриса  угла С пересекает гипотенузу в точке Е, СЕ — является диагональю искомого квадрата, DЕ⊥ВС, FE⊥АС.

ΔВDЕ=ΔАFЕ, они прямоугольные, равнобедренные (углы по 45°) У квадрата все стороны равны отсюда каждая сторона квадрата равна  половине катета ΔАВС.

СD=DЕ=FE=FC=7.

Периметр  квадрата равен Р= 4·7= 28 см.

Задание 175

В квадрате ABCD отметили точку М так, что треугольник АМВ — равносторонний. Докажите, что треугольник CMD — равнобедренный.

Ответ:

Так как треугольник АМД — равносторонний, то ∠АМД = ∠МАД = ∠ДАМ = 60⁰.

Так как АВСД — квадрат, то все его углы равны 90⁰.

Значит, ∠ВАД = ∠ВАМ + ∠МАД = 90⁰.

∠ВАМ = ∠ВАД — ∠МАД = 90⁰ — 60⁰ = 30⁰.

Рассмотрим треугольник ВМА. Так как АМ = МД = АД, а АД = ВА, значит АМ = АВ, а по определению равнобедренного треугольника, значит треугольник ВМА — равнобедренный, с основанием ВМ.

По свойству углов при основании в равнобедренном треугольнике:

∠АВМ = ∠АМВ.

По теореме о сумме углов треугольника:

∠АВМ + ∠АМВ + ∠ВАМ = 2∠АМВ + ∠ВАМ = 180⁰, отсюда

∠АМВ = (180⁰ — ∠ВАМ) : 2 = (180⁰ — 30⁰) : 2 = 150⁰ : 2 = 75⁰.

ДМ=МС, значит треугольник ДМС-равнобедренный.

Задание 176

Докажите, что если диагонали параллелограмма равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом.

Ответ:

Если у четырехсторонней фигуры 4 угла по 90 градусов, то есть равны — это квадрат. (Иного не может быть дано, т. к. у параллелограмма равны только противоположные углы, но не все 4, а только 2. Если диагонали перпендикулярны, то угол в их пересечении равен 90 градусам, это одно из доказательств квадрата. Следовательно, из этих 2-х доказательств следует, что параллелограмм является квадратом.

Задание 177

Четырёхугольники ABCD, DEFM, MNKL, LPOS, SQTV — квадраты (рис. 53). Найдите сумму длин сторон квадратов, которые не лежат на прямой AV, если длина отрезка AV равна 16 см.

Ответ:

СМ. РИСУНОК 53

Пусть стороны АВСД=х

DEFM=у, MNKL=к, LPOS=а, SQTV=в.

АV=AD+DM+ML+LS+SV=16 см

Площадь 1=3х

Площадь 2=3у

Площадь 3=3к

Площадь 4=3а

Площадь 5=3в

Площадь общая=3х+3у+3к+3а+3в=3*16=48 см.

Задание 178

Постройте квадрат по его стороне.

Ответ:

Начертить отрезок — сторону квадрата. От его вершины отложить такой же отрезок на той же прямой. Получится отрезок, равный удвоенной стороне квадрата. Построить две окружности радиусом этой удвоенной стороны и с центрами в вершинах этой удвоенной стороны. Провести прямую через точки пересечения этих окружностей и на этой прямой отложить отрезок, равный стороне квадрата. Получится вторая сторона, а точнее — два отрезка, равных стороне квадрата, исходящие из одной вершины под прямым углом. Продолжить построение относительно второй построенной стороны, пока не будут получены все четыре, и пока квадрат не замкнётся.

Задание 179

Докажите, что точки пересечения биссектрис углов прямоугольника, не являющегося квадратом, являются вершинами квадрата.

Ответ:

Пусть MNPQ — четырехугольник, образованный при пересечении биссектрис углов прямоугольника ABCD (рис. 56).

Четырехугольник MNPQ — прямоугольник. Докажем, что MN=NP.

Треугольник AND — равнобедренный, так как угол 1 = углу 2= 45 градусов, поэтому AN=DN.

Ho AM=DP, так как треугольник ABM=тр.DPC (по стороне и прилежащим к ней углам). Таким образом, MN=AN-AM=DN-DP=NP.

Итак, в прямоугольнике MNPQ две смежные стороны равны, следовательно, MNPQ — квадрат.

Задание 180

Вершины М и К равностороннего треугольника АМК принадлежат сторонам ВС и CD квадрата ABCD. Докажите, что МК || BD.

Ответ:

Докажем, что прямоугольные треугольника АВМ и АКД равны.

Стороны АД и АВ равны как стороны квадрата, стороны АМ и АК равны как стороны равностороннего треугольника, тогда треугольники АВК и АКД равны по катету и гипотенузе – четвертому признаку равенства прямоугольных треугольников., тогда и угол ВАМ = ДАК.

Угол ВАД = МАК + ДАК + ВАМ = 90⁰.

2 * ВАМ = 90 – 60 = 30.

Угол ВАМ = ДАК = 30 / 2 = 15⁰, тогда угол АМВ = 90 – 15 = 750.

Угол СМК = 180 – АМК – АМВ = 180 – 60 — 75 = 45⁰.

Так как диагональ квадрата образует с его стороной угол 45⁰, то угол ДВС = СМК = 45⁰.

Секущая ВС образует равные соответственные углы с прямыми ВД и КМ, следовательно эти прямые параллельны, что и требовалось доказать.

Задание 181

Даны точки М и К. Постройте квадрат ABCD так, чтобы точка М была серединой стороны АВ, а точка К — серединой стороны ВС.

Ответ:

Соединим точки М и К. ВО-серединный перпендикуляр к МК. АВ, ВС-стороны квадрата. Достроим квадрат. Угол В=90 гр, ВА=ВС.

Задание 182

Через произвольную точку, принадлежащую квадрат), проведены две перпендикулярные прямые, каждая из которых пересекает две противолежащие стороны квадрата. Докажите, что отрезки этих прямых, принадлежащие квадрату, равны.

Ответ:

Через точку X  , расположенную внутри квадрата ABCD  , проведём две взаимно перпендикулярные прямые. Пусть первая прямая пересекает стороны AB  и CD  в точках соответственно P и Q  , а вторая — стороны BC   и AD   в точках соответственно R   и S  . Докажем, что PQ=RS

Пусть E — проекция точки Q  на AB, а F  — проекция точки R на AD  . Прямоугольные треугольники PEQ  и SFR равны по катету и прилежащему острому углу. Поэтому PQ=RS .