Геометрия 8 класс учебник Мерзляк Ромб страница 35

Задание 148

Докажите, что высоты ромба равны.

Ответ:

Дано: АВСД-ромб

Доказать: ВН=ВН1

Рассмотрим треугольники ВАН и ВСН1

Уол А=углу С (т.к ромб)

АВ=ВС

Угол Н=углу Н1 (т.к ВН и ВН1 высоты)

Следовательно, треугольники ВАН и ВН1С равны по гипотенузе и острому углу.

ВН=ВН1. ЧТД

Задание 149

Высота ромба, проведённая из вершины его тупого угла, делит сторону ромба пополам. Меньшая диагональ ромба равна 4 см. Найдите углы и периметр ромба.

Ответ:

Пусть АВСД — это данный ромб, ВН — высота (Н принадлежит АД), АН = АД. ВД = 4 см.

Рассмотрим треугольник АВД:

ВН является высотой и медианой (по условию), значит, треугольник АВД — равнобедренный, ВА = ВД = 4 см.

Следовательно, сторона ромба равна 4 см, значит, периметр ромба равен:

Р(АВСД) = 4 * 4 = 16 см.

Рассмотрим треугольник АВД: АВ = АД (так как стороны ромба равны), ВД = АВ (так как треугольник равнобедренный). Значит, треугольник АВД — равносторонний.

Следовательно, угол А равен 60°.

Угол С = углу А = 60° (противоположные углы ромба равны).

Угол АВД = 60°, значит угол АВС = 60° + 60° = 120° (диагонали ромба делят угол пополам). И угол Д равен 120°.

Ответ: периметр ромба равен 16 см, углы ромба равны 60° и 120°.

Задание 150

Докажите, что диагональ ромба делит пополам угол между высотами ромба, проведёнными из той же вершины, что и диагональ.

Ответ:

Дано: АВСД-ромб

ВН параллельно АД, ВН1 параллельно СД

Доказать: угол НВД=углу ДВН1

Рассмотрим треугольники ВНД и ВДН1

Угол Н=углу Н1=90 градусов

ВД-общая

Угол ВДН=углу ВДН1 (ВД-диагональ)

Следовательно, треугольник ВНД=треугольнику ВДН1 по гипотенузе и острому углу.

Угол НВД=углу ДВН1. ЧТД.

Задание 151

На сторонах АВ и AD ромба ABCD отложены равные отрезки АЕ и AF соответственно. Докажите, что ∠CEF=∠CFE.

Ответ:

Дано: АВСД-ромб

Доказать: ∠CEF=∠CFE

АВ=AD как стороны ромба. По условию AE=AF ⇒

BE=DE

Все стороны ромба равны, противоположные углы ромба равны.⇒

∆ СBE=∆ CDE  по первому признаку равенства треугольников, из чего следует равенство СЕ=СF ⇒ Треугольник FCE- равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. ⇒

∠CEF=∠ CFE. ЧТД.

Задание 152

Отрезок AM — биссектриса треугольника ABC. Через точку М проведены прямая, параллельная стороне АС и пересекающая сторону АВ в точке К, и прямая, параллельная стороне АВ и пересекающая сторону АС в точке D. Докажите, что AM ⊥ DK.

Ответ:

Дано: Треугольник АВС

АМ-биссектриса

Доказать: AM ⊥ DK.

По условию  ЕМ||АС, АМ — секущая. =>

угол ЕМА=углу МАС как накрест лежащие.

Биссектриса АМ делит угол ВАС пополам, и ∠ЕАМ=∠МАС.

Тогда ∠ЕМА=∠ЕАМ.

⇒ АМЕ равнобедренный по равенству углов при основании АС.

Задание 153

Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекают его стороны ВС и AD в точках F и Е соответственно. Определите вид четырёхугольника ABFE.

Ответ:

Диагональ АС делит параллелограмм АВСД на два равных треугольника. Угол ВАС=углу АСД. Так как их разбивают биссектрисы, то углы ВАК=КАС=АСР=РСД. Возьмем во внимание равные углы КАС и АСР ⇒ АК параллельна РС ( здесь углы КАС и АСР будут внутренними накрест лежащими, АС — секущей). Так как ВС параллельна АД (по свойству параллелограмма), то и КС параллельна АР (как стороны, лежащие на ВС и АД соответственно). Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, значит АРСК — параллелограмм.

Задание 154

В треугольнике ABC проведён серединный перпендикуляр его биссектрисы BD, который пересекает стороны АВ и ВС в точках К и Р соответственно. Определите вид четырёхугольника BKDP.

Ответ:

Рассмотрим 2 образовавшихся треугольника. Это KBP и PBO. Они равнобедренные т.к. угол KBO = углу PBO и т.к их делит пополам биссектриса. BO- общая. KO = OP , т.к серединный перпендикуляр параллельно пересекает треугольник.

Из равенства берем, что KB = BP, следовательно, треугольник KBP равнобедренный. По теореме биссектриса, проведенная из угла при вершине, является высотой, следовательно, BO перпендикулярно KP.

Это ромб т.к у него диагонали перпендикулярны.

Задание 155

Постройте ромб: 1) по стороне и углу; 2) по двум диагоналям; 3) по высоте и углу.

Ответ:

1) Построим диагональ АС. Строим треугольник АВС по трем сторонам АВ, ВС, АС, где АВ = ВС — данные стороны ромба, а АС — диагональ ромба. Через точку А проводим прямую, параллельную ВС, а через точку С прямую, параллельную АВ. Точку пересечения данных прямых обозначим D ABCD — искомый ромб.

2) Строим диагональ CD и проводим к ней серединный перпендикуляр. От точки О на серединном перпендикуляре в разные стороны откладываем отрезки ОА и ОВ равные половине от длины второй диагонали. Точки А, В, C, D — вершины искомого ромба.

3) Проводим прямую длиной равной стороне, к одному концу приложим транспортир и проведем луч из этого конца. Поставим в эту точку циркуль, сделаем засечку на луче. Сделаем засечки на всех дугах. Получаем 4 вершины ромба.

Задание 156

Постройте ромб: 1) по стороне и диагонали; 2) по высоте и диагонали.

Ответ:

1) Построим диагональ АС. Строим треугольник АВС по трем сторонам АВ, ВС, АС, где АВ = ВС — данные стороны ромба, а АС — диагональ ромба. Через точку А проводим прямую, параллельную ВС, а через точку С прямую, параллельную АВ. Точку пересечения данных прямых обозначим D ABCD — искомый ромб.

2) Строим прямой угол и проводим биссектрису. От вершины биссектрисы откладываем диагональ АВ и делим ее пополам, точкой О. Проводим перпендикуляр через точку О к диагонали АВ, который пересекает стороны угла в точках С и D, которые являются вершинами искомого ромба.

Задание 157

В прямоугольнике ABCD известно, что AD = 9 см, ∠BDA = 30°. На сторонах ВС и AD отметили соответственно точки М и К так, что образовался ромб АМСК. Найдите сторону этого ромба.

Ответ:

Дано: АВСД-треугольник

∠BDA = 30°

Найти: сторону АМСК.

АД=9 см

Угол ДВС=углу АДВ=30 гр.

Угол ВОМ=30 гр, следовательно, треугольник ВОМ равнобедренный. ВМ=МО.

Угол МСО=30 гр., МС=2МО

ВС=ВМ+МС=МО+2МО=3МО

9=3*МО

МО=3

МС=6.

Задание 158

Постройте ромб по диагонали и углу ромба, вершина которого принадлежит этой диагонали.

Ответ:

Строим данный угол и проводим биссектрису. От вершины биссектрисы откладываем диагональ АВ и делим ее пополам, точкой О. Проводим перпендикуляр через точку О к диагонали АВ, который пересекает стороны угла в точках С и D, которые являются вершинами искомого ромба.

Задание 159

Постройте ромб по диагонали и противолежащему ей углу ромба.

Ответ:

Пусть дан угол а и диагональ д. Необходимо построить ромб, в котором один из углов равен а, а противолежащая диагональ равна д. Предположим, что существует ромб ABCD, в котором диагональ ВД=д и угол ВАД=а. Диагональ АС — биссектриса угла ВАД.

Проведем биссектрису AC угла BAD. Через точку А проведем прямую МN, параллельную а.

Проведем через М и N прямые, параллельные АС, точки пересечения этих прямых со сторонами угла BAD обозначим соответственно В и D. Раствором циркуля, равным АВ, проведем дугу с центром В, при этом, точку пересечения дуги с прямой а обозначим С. Получим четырехугольник ABCD. Докажем, что ABCD — ромб в котором угол ВАД=а, ВД=д.