Геометрия 8 класс учебник Мерзляк Ромб страница 34

§ 5. Ромб

Вопросы к параграфу

Вопрос 1

Какую фигуру называют ромбом?

Ответ:

Это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Вопрос 2

Какими свойствами обладает ромб?

Ответ:

Ромб является параллелограммом, поэтому его противолежащие стороны равны и попарно параллельны: АВ || CD, AD || ВС. Противоположные углы ромба равны, а соседние углы дополняют друг друга до 180°

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (AC ⊥ BD) и в точке пересечения делятся пополам. Тем самым диагонали делят ромб на четыре прямоугольных треугольника

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т. д.)

Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4 (следствие из тождества параллелограмма)

Середины четырех сторон ромба являются вершинами прямоугольника

Диагонали ромба являются перпендикулярными осями его симметрии

В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей

Вопрос 3

Какими особыми свойствами обладают диагонали ромба?

Ответ:

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (AC ⊥ BD) и в точке пересечения делятся пополам. Тем самым диагонали делят ромб на четыре прямоугольных треугольника.

Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы пополам.

Вопрос 4

По каким признакам можно установить что параллелограмм является ромбом?

Ответ:

Используя признаки ромба, можно определить, является ли данный четырёхугольник или параллелограмм ромбом:

-Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то данный параллелограмм является ромбом

-Если две смежные стороны параллелограмма равны, то данный параллелограмм является ромбом

-Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то данный параллелограмм является ромбом

-Если все стороны четырёхугольника равны, то данный четырёхугольник является ромбом

Задание 136

Начертите ромб со стороной 5 см и углом 40°. Проведите две высоты из вершины его острого угла и две высоты из вершины тупого угла.

Ответ:

Задание 137

Докажите, что если две соседние стороны параллелограмма равны, то он является ромбом. Докажите, что четырёхугольник, все стороны которого равны, является ромбом.

Ответ:

У параллелограмма  противоположные стороны равны и он является ромбом, так как если равны две смежные стороны, значит равны все 4 стороны. Данный пар-м  является ромбом.

Задание 138

Докажите, что четырехугольник у которого все стороны равны является ромбом.

Ответ:

Дано:

ABCD — четырехугольник,

AB=BC=CD=AD.

Доказать: ABCD — ромб.

Доказательство:

1) Проведем в четырехугольнике ABCD диагональ AC.

2) Так как AB=BC (по условию), то треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC (по определению).

Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, то ∠BAC=∠BCA.

3) Аналогично, треугольник ADC — равнобедренный с основанием AC и ∠DAC=∠DCA.

4) В треугольниках ABC и ADC:

AB=AD и BC=DC (по условию);

сторона AC — общая.

Следовательно, треугольники ABC и ADC равны (по трем сторонам).

5) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

∠BAC=∠DAC и ∠BCA=∠DCA.

Следовательно, ∠BAC=∠DCA.

Поскольку эти углы — внутренние накрест лежащие при прямых AB и CD и секущей AC, то AB ∥ CD (по признаку параллельности прямых).

6) В четырехугольнике ABCD две стороны AB и CD параллельны и равны. Значит, ABCD — параллелограмм (по признаку).

А так как у него все стороны равны (по условию), то ABCD — ромб (по определению).

Задание 139

Диагональ АС ромба ABCD (рис. 49) образует со стороной AD угол 42°. Найдите все утлы ромба.

Ответ:

Дано: Ромб АВСД

АС-диагональ

Угол Д=42 градуса

Найти: Углы АВСД.

В ромбе диагонали являются биссектрисами углов,следовательно угол А= 2САД=84 градуса. Противоположные углы ромба равны, тогда угол С =84 градуса.

На два других угла приходится 360-168=192.  Значит угол В= углу Д=96 градусов.

Задание 140

В ромбе ABCD известно, что АС — 140°, а диагонали пересекаются в точке О. Найдите углы треугольника АОВ.

Ответ:

Дано: АВСД-ромб

АС=140 градусов.

Найти: Углы АОВ.

В ромбе противоположные углы равны, а диагонали являются биссектрисами углов и взаимно перпендикулярны. Следовательно, <A=<C=140°, <AOB=90°, <OAB=70°, a <ABO=20° (так как острые углы прямоугольного треугольника равны в сумме 90°.)

Задание 141

Одна из диагоналей ромба равна его стороне. Найдите углы ромба.

Ответ:

Если диагональ ромба равна его стороне, то треугольник образованный этой диагональю и двумя сторонами ромба равносторонний, следовательно все углы в нем по 60 градусов, значит 2 противолежащих угла в этом ромбе по 60 градусов, а другие два по (360 (сумма углов в четырехугольнике) — (60 + 60)):2 = 120 градусов. Ответ: два угла по 60 градусов и два по 120 градусов.

Задание 142

Найдите углы ромба, если его периметр равен 24 см, а высота равна 3 см.

Ответ:

Дано: Ромб АВСД

Периметр АВСД=24 см

Высота АВСД=3 см

Найти: Углы АВСД.

Сторона ромба равна 24:4=6см.

Рассмотрим ΔABH: он прямоугольный, так как АН высота.

В нем высота является катетом, а сторона ромба гипотенузой. (Если катет в два раза меньше гипотенузы, то он лежит против угла в 30°) АВ=6, а АН=3. следовательно угол В ромба равен 30°. Найдем угол с:

Угол С=180-30=150°.

Ответ: 30°, 150°, 30°, 150°.

Задание 143

Найдите периметр ромба ABCD, если АА = 60°, BD = 9 см.

Ответ:

Дано: ромб АВСД

АА=60 градусов

ВД=9 см

Найти: периметр АВСД

1. Учитывая, что сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна 180°, вычисляем

величину угла при вершине В:

180°- 60°= 120°.

2. Вычисляем величину угла АВД, учитывая, что диагональ ВД делит угол при вершине В

пополам:

угол АВД = 120° : 2 = 60°.

3. Угол АДВ = 180°- 60°- 60° = 60°. Так как все внутренние углы треугольника АВД равны 60°,

этот треугольник равносторонний. Следовательно ВД = АВ = АД = 9 см.

4. Вычисляем периметр ромба:

9 х 4 = 36 см.

Ответ: периметр ромба равен 36 см.

Задание 144

Угол D ромба ABCD в 8 раз больше угла CAD. Найдите ABAD.

Ответ:

Угол BAD = 36 градусов.

Проведем дополнительно высоту DH.

Угол ADH станет равен 4 угла CAD.

Сумма всех углов в треугольнике ADH= 180 градусов. Угол DHA =90 градусов. отсюда уравнение 90+4x+x=180.

Х=18

CAD=18 градусов, а угол BAD= САД*2=36 градусов.

Задание 145

Углы, которые сторона ромба образует с его диагоналями, относятся как 2 : 7. Найдите углы ромба.

Ответ:

Пусть дан ромб ABCD, тогда AC и BD его диагонали, а точка пересечения диагоналей.

Углы диагоналей со сторонами я обозначил через х и у (в треугольнике AOD), очевидно, что углы ромба будут равны 2х и 2у (диагонали ромба делят углы пополам). Есть еще одно свойство диагоналей ромба, которое нам понадобится, они взаимно перпендикулярны. Поэтому в треугольнике AOD, угол AOD равен 90 градусов. Значит и х+у=90. По условию х:у=2:7, значит х=20, у=70. Найдем углы ромба: 2*20=40 и 2*70=140.

Ответ: 40 и 140.

Задание 146

Точки М и К — соответственно середины сторон АВ и ВС ромба ABCD. Докажите, что MD = KD.

Ответ:

Дано: Ромб АВСД

М и К-середины АВ и ВС

Доказать: МК=КД.

Ромб — параллелограмм, противоположные углы равны. Следовательно,

∠A=∠C

Все стороны ромба равны.

AD=CD

AB/2=BC/2 <=> AM=CK

△MAD=△KCD (по двум сторонам и углу между ними).

MD=KD. ЧТД.

Задание 147

Точки Е и F — соответственно середины сторон ВС и CD ромба ABCD. Докажите, что АЕАС = AFAC.

Ответ:

Рассмотрим треугольники EAC и CAF.

У них сторона АС общая, стороны TC=CF по условию (середины сторон)  и угол ECA=FCA (диагональ АС делит угол С пополам).

Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы.т.е. угол EAC=CAF. ЧТД.