Геометрия 8 класс учебник Мерзляк Прямоугольник страница 32

Задание 124

Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине.

Ответ:

Дано: ∆ABC, ∠BCA=90º

Доказать: медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Доказательство:

1) В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведем к гипотенузе AB отрезок CO так, чтобы CO=OA.

2) ∆ AOC — равнобедренный с основанием AC (по определению равнобедренного треугольника). Значит, у него углы при основании равны:∠OAC=∠OCA=α.

3) Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то в треугольнике ABC ∠B=90º- α.

4) Так как ∠BCA=90º (по условию), то ∠BCO=90º- ∠OCA=90º-α.

5) Рассмотрим треугольник BOC.

∠BCO=90º-α, ∠B=90º- α, следовательно, ∠BCO=∠B.

Значит, треугольник BOC — равнобедренный с основанием BC (по признаку равнобедренного треугольника).

Отсюда BO=CO.

6) Так как CO=OA (по построению) и BO=CO (по доказанному), то CO=OA=BO, AB=OA+BO=2∙OA=2∙CO.

Таким образом, точка O — середина гипотенузы AB, отрезок CO соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, значит, CO — медиана, проведенная к гипотенузе, и она равна половине гипотенузы.

Задание 125

Постройте прямоугольник: 1) по двум сторонам; 2) по диагонали и углу между диагональю и стороной.

Ответ:

1) Дано: отрезок а, отрезок б

Построим угол УАХ=90 градусов

Построим окружность А с радиусом а

Д-точка пересечения с АХ.

Построим окружность А с радиусом б. В- точка пересечения с АУ.

ВК параллель к АХ, ДЕ параллель к АУ. С-точка пересечения ВК и ДЕ.

Соединим С, В и Д.

АВСД-искомый прямоугольник.

2) Дано: Угол А, прямая Д.

Построить: прямоугольник, у которого угол АВД=А, ВД=д.

1) Построим угол ХДУ=а.

2) Построим окружность с центром Д. В-точка пересечения окружности с ДХ.

3) Построим ВА перпендикуляр к ДУ.

4) Построим ВК параллельную ДА и ДЕ параллельную АВ.

АВСД-искомый прямоугольник.

Задание 126

Постройте прямоугольник: 1) по стороне и диагонали; 2) по диагонали и углу между диагоналями.

Ответ:

1.

1) Построим угол УАХ=90 градусов.

2) Построим окружность с центром А. Д-точка пересечения с АХ.

3) Построим окружность с центром Д. В-точка пересечения с АУ.

5) Соединим С, В и Д. АВСД-искомый треугольник.

2.

1) Построим ДОС по двум сторонам и углу между ними. ОС=ОД.

Угол СОД= а.

2) Построим окружность с центром О. А, В-точки пересечения окружности с лучами СО и ДО.

3) Соединим Д, А, В, С.

АВСД-искомый прямоугольник.

Задание 127

Серединный перпендикуляр диагонали АС прямоугольника ABCD пересекает сторону ВС в точке М так, что ВМ : МС =1:2. Найдите углы, на которые диагональ прямоугольника делит его угол.

Ответ:

Дано:

АВСД-прямоугольник

ОМ перпендикуляр АС

АО=ОС

ВМ: МС=1:2

Найти: Углы ВАС и САД.

Рассмотрим равнобедренный треугольник АМС .АМ = АС, так как АО = ОС ( из середины точки О восстановили перпендикуляр ОМ).МС = АМ = 2 (части), ВМ = 1 (часть).Рассмотрим прямоугольник треугольник АВМ: АМ = 2, а ВМ = 1.Это может быть в случае если катет ВМ находится против угла <ВАМ = 30 грудусов.< BМA = 90 — 30 = 60 (градусов).<AМC = 180 — <AМB = 180 — 60 = 120.Значит, между диагональю АС и стороной ВС <BCA = (180 — 120)/2= 30 (градусов)

Значит диагональ АС делит прямой угол на угла равные 30 и 60 градусов.

Задание 128

В прямоугольнике ABCD известно, что ∠BCA : ∠DCA = 1:5, АС = 18 см. Найдите расстояние от точки С до диагонали BD.

Ответ:

Пусть величина угла ВСА = Х⁰, тогда, по условию, угол ДСА = 5 * Х

Угол ВСД = 90⁰, тогда Х + 5 * Х = 90.

6 * Х = 90.

Х = 90 :6 = 15⁰.

Угол ДСА = 5 * 15 = 75⁰.

Так как диагонали прямоугольника равны и длятся пополам в точке их пересечения, то ОС = ОС = АС: 2 = 18: 2 = 9 см, а следовательно, треугольник СОД равнобедренный, тогда угол СДО = ДСО = 75⁰.

Угол СОД = 180 – 75 – 75 = 30⁰. Тогда в прямоугольном треугольнике СОН катет СН лежит против угла 30⁰, а значит, СН = ОС:2 = 9 :2 = 4,5 см.

Ответ: Расстояние от точки С до диагонали ВД равно 4,5 см.

Задание 129

Докажите, что биссектрисы углов параллелограмма, у которого соседние стороны не равны, пересекаясь, образуют прямоугольник.

Ответ:

В параллелограмме противоположные углы равны по определению.

Так как противоположные стороны параллелограмма параллельны, то сумма его внутренних односторонних углов, как углов при параллельных прямых и секущей, равна 180º.

∠ВАД+∠СВА=180º

Биссектрисы параллелограмма делят каждый его угол пополам.

Рассмотрим  ∆ АВК.

∠ВАК=¹/₂ ∠ВАД

∠КВА=¹/₂∠СВА

¹/₂ ∠ВАД+¹/₂∠СВА =¹/₂ (∠ВАД+∠СВА)=180º:2=90º

Сумма углов треугольника равна 180º,⇒

∠ВКА=180°-90°=90°

Вертикальный ему угол МКТ четырехугольника КМНТ равен ему и тоже прямой.

Аналогично доказывается, что угол МНТ равен 90º как вертикальный углу СНД,

В ∆ АМД сумма половин внутренних односторонних углов ВАД и СДА равна 90º. ⇒

Угол АМД  равен 90º.

Аналогично угол ВТС =90º

Все углы четырехугольника КМНТ, образованного при пересечении биссектрис углов параллелограмма — прямые. ⇒ четырехугольник КМНТ — прямоугольник.

Задание 130

Постройте прямоугольник по стороне и углу между диагоналями, противолежащему данной стороне.

Ответ:

План построения:

1. Угол A, равный данному.
2. Отложить на одной из сторон от вершины угла отрезок AD, равный известной стороне.
3. Построить перпендикуляр к прямой AD в точке D.
4. Обозначить точку пересечения построенного перпендикуляра и второй стороны угла C.
5. Построить окружность с центром в точке C и радиусом CD.
6. Построить окружность с центром в точке C и радиусом AD.
7. Обозначить точку пересечения окружностей B. ABCD — искомый прямоугольник

Задание 131

Постройте прямоугольник: 1) по диагонали и разности двух сторон; 2) по периметру и диагонали; 3) по периметру и углу между диагоналями.

Ответ:

1.

1) На прямой К отложим отрезок АЕ

2) ЕК – биссектриса угла МЕД

3) СД-перпендикуляр к К

4) ВС=АД, В принадлежит К

АВСД-искомый прямоугольник

2.

Пусть х и у — длины смежных сторон искомого прямоугольника. Обозначим d — его диагональ, p — полупериметр. Тогда x+y=p и x²+y²=d². Т.е. х и у — абсцисса и ордината точки пересечения прямой и окружности, заданных этими уравнениями. Поэтому процесс построения выглядит так:

1) Строим прямой угол с вершиной О (он задает оси декартовой системы координат).

2) Строим окружность с центром в О и радиуса d (ее уравнение x²+y²=d²).

3) На сторонах прямого угла отмечаем точки A и B на расстоянии p от точки О  и проводим прямую AB (уравнение этой прямой x+y=p. Заметим также, что ∠OAB=45°).  Пусть C —

какая-нибудь точка пересечения этой прямой с окружностью.

4) Опускаем перпендикуляр CD на ОА, и перпендикуляр CE на OB. Тогда прямоугольник OECD — искомый.

Действительно, его диагональ OC равна радиусу окружности, т.е.равна d. Его полупериметр равен EC+CD=OD+DA=OA=p, т.к. CD=DA, поскольку ∠OAB=45°

3.

1) Отрезок, равный периметру делим пополам. Получаем отрезок АВ

2) Данный угол делим пополам. Получаем угол φ

3) Строим прямоугольный треугольник с острым углом φ

4) На произвольной прямой а откладываем последовательно отрезки МК и КР, равные катетам построенного треугольника

5) Через точку М проводим произвольный луч МН, не совпадающий с прямой а.

6) На луче МН от точки М откладываем полпериметра — отрезок МВ₁=АВ

7) Поводим прямую РВ₁

8) Строим прямую КК₁||РВ₁, К₁=МН∩КК₁

9) МК₁ и К₁В₁ — стороны искомого прямоугольника.

Задание 132

В треугольнике ABC известно, что ∠C = 48°, отрезки АК и ВМ — его высоты. Найдите угол между прямыми АК и ВМ.

Ответ:

Дано: АВС-треугольник

Угол С=48 градусов

АК и ВМ-высоты

Найти: Угол между АК и ВМ

Сделаем чертеж. О — точка пересечения высот.

Рассмотрим треугольник МВС: угол C = 48 град., угол BMC = 90 град.

Угол MBC = 180 — (48 + 90) = 42 град.

Рассмотрим треугольник ОBK: угол OKB = углу AKB = 90;

Угол  OBK = углу MBC = 42

Угол BOK = 180 — (90+42) = 48 град.

Задание 133

На стороне АС треугольника ABC отметили точку D так, что ∠A = ∠CBD. Найдите угол ABC, если треугольники ABD и BCD ещё имеют равные углы.

Ответ:

Дано: АВС-треугол.

Угол А=углу ДВС

Найти: угол АВС.

Рассмотрим углы ВДС и АДВ. Смежные.

Угол ВСА = углу АВД=у,

Угол А=углу ДВС=х.

Угол ВДС=180-х-у

Угол АДВ=180-х-у

Угол ВДС=углу АДВ=90 гр.

Рассмотрим треугольник ВДС.

Угол ВДС=90 гр., угол ДВС=у, угол АСВ=х

Угол АВС=угол АВД+угол ДВС=х+у=90 гр.

Задание 134

Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC. Через точку С проведена прямая, которая параллельна прямой AD и пересекает прямую АВ в точке Е. Определите вид треугольника АСЕ.

Ответ:

Если АД — биссектриса, то угол ВАД равен углу ДАС. Если АД||СЕ, то накрест лежащие углы равны. Следовательно, углы ДАС и АСЕ равны, т.к. они накрест лежащие. Углы 1 и 2 — вертикальные. Они тоже равны. Следовательно, угол 2 равен и углу ДАС, т.к. ВАД изначально равно ДАС. Если угол 1 равен углу 2, то он равен и углу АЕС, т.к. угол 2 и угол АЕС — накрест лежащие при секущей ВЕ.

Из этого следует, что угол АЕС равен углу ЕСА, и треугольник АСЕ — равнобедренный.

Задание 135

На плоскости отметили 1000 точек. Докажите, что существует прямая, относительно которой в каждой полуплоскости лежат по 500 точек.

Ответ:

Через каждые две данные точки проведём прямую. Количество построенных прямых конечно. Следовательно, существует прямая, не параллельная ни одной из проведённых прямых. Проведём эту прямую так, чтобы данные точки лежали в одной полуплоскости относительно неё. Начнём сдвигать эту прямую параллельно самой себе в сторону отмеченных точек. При каждом положении этой прямой на ней может оказаться не более одной точки. Поэтому таким сдвигом можно добиться желаемого результата.