Геометрия 8 класс учебник Мерзляк Прямоугольник страница 31

Тип: ГДЗ, Решебник.

Год: 2013,2015,2016,2017.

Издательство: «Вентана-Граф»

Серия: «Алгоритм успеха»

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.

Ответы на задания к странице 31. Геометрия 8 класс учебник

✔ Готовое домашнее задание с подробным решением

Все решебники

Задание 112

Докажите, что четырёхугольник, все углы которого прямые, является прямоугольником.

Ответ:

Дано: Угол А=углу В=Углу С=углу Д

Доказать: ABCD — прямоугольник.

Угол А+Угол В=180 градусов

А, В-односторонние углы при АД и ВС и секущей АВ, значит, АД параллельно ВС.

АВ параллельно СД аналогично

АД параллельно ВС, АВ параллельно СД, значит АВСД-параллелограмм.

Т.к Угол А=углу В=Углу С=углу Д

=90, то ABCD — прямоугольник.

Задание 113

Диагонали прямоугольника ABCD (рис. 46) пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники АОВ и AOD — равнобедренные.

Ответ:

Дано:

ABCD

Доказать: треугольники АОВ и AOD — равнобедренные.

АВСД-прямоугольник.

По свойствам прямоугольника АС=ВД, ВО=ОД, АО=ОС, значит, по определению, треугольники АОД и АОВ равнобедренные, т.к АО=ОД и АО=ОВ.

Задание 114

Диагонали прямоугольника АВ CD (см. рис. 46) пересекаются в точке О, ∠ABD = 64°. Найдите ∠COD и ∠AOD.

Ответ:

Дано: ABCD — прямоугольник, AB и CD — диагонали, ∠ABD=64°.

Найти ∠COD и AOD.

Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам.

Рассмотрим ΔABD — прямоугольный.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, поэтому ∠ADВ=90-64=26°

Рассмотрим ΔАОD — равнобедренный, т.к. АО=ОD по свойству диагоналей прямоугольника.

Значит, ∠ОАD=∠ОDА=26°.

∠АОD=180-(26+26)=128°

∠АОD и ∠СОD — смежные, их сумма составляет 180°, поэтому

∠СОD=180-128=52°

Задание 115

Диагонали прямоугольника ABCD (см. рис. 46) пересекаются в точке О, ∠ADB = 30°, BD =10 см. Найдите периметр треугольника АОВ.

Ответ:

Рассмотрим треугольник ABD: угол А= 90 градусов; угол ADB= 30 градусов => AB=1/2 BD (угол, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузе)

AB=5см

Рассмотрим треугольник AOB

AO=OB (диагонали)

AO=OB=5см=> AB=5 см

Paob= 3*5=15см

Задание 116

Угол между диагоналями прямоугольника равен 60°, а меньшая сторона прямоугольника равна 8 см. Найдите диагональ прямоугольника.

Ответ:

Если угол между диагоналями прямоугольника равен 60° , то внутри образуется равносторонний треугольник, у которого все стороны равны, так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Если у равнобедренного треугольника угол при вершине, противолежащий основанию, равен 60°, то этот треугольник равносторонний. Значит, диагональ равен: 8 + 8 = 16 см.

Задание 117

На диагонали АС прямоугольника ABCD отложены равные отрезки AM и СК (точка М лежит между точками А и К). Докажите, что четырёхугольник BKDM — параллелограмм, отличный от прямоугольника.

Ответ:

ΔАВМ=ΔСDК по двум сторонам и углу между ними. Значит ВМ=DК.

ΔАМD=ΔСКВ по двум сторонам и углу между ними. Значит МD=ВК, смотри рисунок.

ВКМD параллелограм, противоположные стороны равны.

∠ВКС+∠ВКМ=180° (смежные).

∠АМD+КМD=180° (смежные),

∠ВКМ=∠DМК, значит ВМ║DК. Этого достаточно, чтобы утверждать, что ВКDМ- параллелограмм.

Задание 118

На продолжении диагонали BD прямоугольника ABCD за точку В отметили точку Е, а на продолжении за точку D — точку F так, что BE = DF. Докажите, что четырёхугольник AECF — параллелограмм, отличный от прямоугольника.

Ответ:

Признак параллелограмма: «Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм».

В прямоугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам. Значит АО=ОС, ВО=OD. Но ВЕ=DF (дано), значит ВО+ВЕ=OD+DF или ОЕ=OF. Следовательно, АЕСF — параллелограмм по определению.

А так как углы <AEC и <ABC, <ECF и BCD, не равны, то АЕСF — не прямоугольник.

Задание 119

Точка М — середина стороны ВС прямоугольника ABCD, MA _L MD, периметр прямоугольника равен 36 см. Найдите стороны прямоугольника

Ответ:

Дано: АВСД

МА перпендикуляр МД

Найти: АВ и АД

Угол В=углу С=90 градусов.

ВМ=МС (по условию), ВА=СД (т.к АВСД-прямоугольник), следовательно, треугольники АВМ и МСД равны по двум катетам.

Угол ВМА+СМД+АМД=180 градусов (смежные)

2ВМА=90, ВМА=СМД=45

Р=2(АВ+ВС)=36=2(АВ+2АВ)

АВ=6 см

Т.к АВСД-прямоугольник, то АД=ВС=АВ=12 см

Ответ: 6 и 12 см.

Задание 120

Периметр прямоугольника ABCD равен 30 см. Биссектрисы углов А и D пересекаются в точке М, принадлежащей стороне ВС. Найдите стороны прямоугольника.

Ответ:

Биссектрисы прямых углов делят угол на два угла в 45°. Так как углы С и В прямые, то по свойству о сумме острых углов прямоугольного треугольника углы DMC и AMB соответственно равны 45°, следовательно, треугольники CDM и MAB равнобедренные и DC=CM=MB=AB. Получается, CB=2DC.

Пусть DC=x, тогда СВ=2х.\

Р=2(DC+ СВ)=2(х+2х)=6х.

Но т.к периметр равен 30см, то

30=6х

Х=30:6

х=5см

2х=5×2=10см

Ответ: стороны равны 5см и 10см

Задание 121

Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 55 см. Прямоугольник ABCD построен так, что две его вершины А и D принадлежат гипотенузе, а две другие — катетам данного треугольника. Найдите стороны прямоугольника, если АВ : ВС = 3 : 5.

Ответ:

Так как треугольник равнобедренный и прямоугольный, то угол МНР = МРН = (180 – 90) / 2 = 45⁰.

Рассмотрим треугольники АВН и РСД, у которых углы ДСР = АВН = 90⁰, углы ДРС = ВНА = 45⁰, тогда треугольники ДРС и АНР равнобедренные, ДС = РС, НВ = АВ.

Так как АВСД прямоугольник, то АВ = СД, как противолежащие стороны, значит СР = ВН, так как треугольники равнобедренные.

Пусть АВ = СД = 3 * Х см, тогда АД = ВС = 5 * Х см.

НР = НВ + ВС + СР.

НР = ВС = АВ = СД = 3 * Х.

НР = 3 * Х + 5 * Х + 3 * Х = 55 см.

11 * Х = 55.

Х = 55 /11 = 5 см.

Тогда АВ = СД = 3 * 5 = 15 см, АД = ВС = 5 * 5 = 25 см.

Ответ: Стороны прямоугольника равны 15 см и 25 см.

Задание 122

В треугольнике ABC известно, что Z.C — 90°, АС — ВС — 6 см. Прямоугольник CMKN построен так, что точка М принадлежит катету АС, %точка N — катету ВС, я точка К — гипотенузе АВ. Найдите периметр прямоугольника CMKN.

Ответ: