Геометрия 8 класс Мерзляк Признаки параллелограмма учебник страница 26

Задание 102

На рисунке 40 четырёхугольник ABCD — параллелограмм, угол BEC = углу DFA. Докажите, что четырёхугольник AECF — параллелограмм.

Ответ:

AE║FC как части противоположных сторон параллелограмма АВСD.

<DFA = <BEC (дано).

<EAF = <DFA как внутренние накрест лежащие углы при параллельных АВ и CD и секущей AF  =>

<BEC = <EAF. Эти углы — соответственные при прямых ЕС и AF и секущей АВ. => прямые ЕС и AF параллельны.

Тогда четырехугольник AECF — параллелограмм по признаку: «Если противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.

Задание 103

Из вершин В и D параллелограмма ABCD проведены перпендикуляры ВМ и DK к диагонали АС. Докажите, что четырёхугольник BKDM — параллелограмм.

Ответ:

Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

По условию ВМ перпендикулярна АС и является высотой ∆ АВС.

DK перпендикулярна АС и является высотой ∆ADC. В равных треугольниках высоты, проведенные из равных вершин, равны. ⇒

ВМ=KD

Треугольники ВМК=DMK  по двум катетам ( ВМ=KD из доказанного, МК — общий) Отсюда ВК=DM. 

Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник ― параллелограмм. Ч.т.д.

Задание 104

Биссектрисы углов А и С параллелограмма ABCD пересекают его диагональ BD в точках Е и F соответственно. Докажите, что четырёхугольник AECF — параллелограмм.

Ответ:

Дано: А,С-биссектрисы

ВД-диагональ

Доказать: AECF — параллелограмм.

Так как АВСД параллелограмм, а АЕ и СF биссектрисы его углов, то по свойству биссектрисы параллелограмма они отсекают на нем равнобедренные треугольники.

Тогда АВ = ВЕ, СД = ДF.

У параллелограмма противоположные углы равны, тогда угол АВЕ = CДF.

У параллелограмма длины противоположных сторон равна, тогда АВ = СД = ВЕ = ДF, а значит треугольники АВЕ и СДF равны по двум сторонам и углу между ними.

Тогда АЕ = СF.

Так как ВС = АД, ВЕ = ДF, то ЕС = АF, а значит у четырехугольника АЕСF противоположные стороны равны, следовательно он параллелограмм, что и требовалось доказать.

Задание 105

Через середину О диагонали NP параллелограмма MNKP проведена прямая, пересекающая стороны MN и КР в точках А и В соответственно. Докажите, что четырёхугольник ANBP — параллелограмм.

Ответ:

Рассмотрим ΔMOB  и ΔKOA:

они равны по второму признаку равенства треугольников, действительно:

∠MOB=∠KOA(вертикальные углы);

∠OMB =∠OKA(накрест  лежащие углы);

MO =OK (по условию).

Из равенства этих треугольников следует, что MB = KA, но они и   параллельны

MB | | KA (лежат  на  параллельных прямых  MF и  NK) .

Значит    MAKB параллелограмма  по второму признаку(если противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны  то четырехугольник параллелограмма) .

Задание 106

Через точку пересечения диагоналей параллелограмма CDEF проведены две прямые, одна из которых пересекает стороны CD и EF в точках А и В соответственно, а другая — стороны DE и CF в точках М и К соответственно. Докажите, что четырёхугольник АМВК — параллелограмм.

Ответ:

<NOC = <AOL (вертикальные), <OAL = OCN (внутренние накрест лежащие при параллельных ВС и AD и секущей АС. АО=ОС (диагональ параллелограмма). Значит ΔАОL=ΔONC и ON=OL. Точно так же ΔBOM = ΔDOK (<DOK=<BOM, <MBO=<ODK, BO=OD), значит ОК=ОМ.

MK и NL — диагонали четырехугольника MNKL, которые пересекаясь в точке О делятся пополам. Но если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.  Что и требовалось доказать.

Задание 107

Точки М, N, К и Р — середины сторон АВ, ВС, CD и AD параллелограмма ABCD соответственно. Докажите, что четырёхугольник, вершинами которого являются точки пересечения прямых AN, ВК, CP и DM, — параллелограмм. 

Ответ:

Дано: АВСД-параллелограмм

Доказать: ХУZO-параллелограмм

Так как АВСД-параллелограмм:

ВС=АД

ВN=NС

АР=РД

ВN=NС=АД=РД

АВ=СД

АМ=МВ

ДК=КС

АМ=МВ=ДК=КС.

Треугольники АМД и ВСК равны по первому признаку (т.к углы А и С равны, АД=ВС, АМ=СК)

АВ параллельно СД, МД-секущая

Углы АМД и МДК равны как накрест лежащие

Угол АМД равен углу СКВ

ВК параллельно МД, следовательно, УZ параллельно ХО.

Треугольники АВN и РСД равны по первому признаку

ВС параллельно АД, NА-секущая

Углы ВNА и NАР накрест лежащие, следовательно, равны.

ХУ параллельно ZO, следовательно, это параллелограмм. ЧТД.

Задание 108

Прямые, на которых лежат биссектрисы АК и ВМ треугольника ABC, пересекаются под углом 74°. Найдите угол C.

Ответ:

Дано: АК, ВМ-биссектрисы

Угол=74 градуса

Угол С-?

Предположим, что биссектрисы АК и ВМ пересекаются в точке О, а угол КОВ =74°

Тогда угол АОВ = 180-74=106°

Сумма смежных углов равна 180°

Угол ОАВ = 0,5*угол ВАС, так как АК — биссектриса.

А угол АВО = 0,5*угол АВС, так как ВМ — биссектриса.

Угол АОВ =110°= 180 — (0,5*угол ВАС + 0,5*угол АВС).

Угол ВАС+угол АВС=(180-110):0,5=140°

Значит, угол АСВ = 180 — (угол ВАС+угол АВС) =180-140=40°

Ответ: 40°

Задание 109

Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°, а высота, проведённая к боковой стороне, равна 8 см. Найдите основание треугольника.

Ответ:

1) ΔАВС — равнобедренный, АВ=ВС , АС — основание , ∠В=120°,

∠А=∠С = (180- 120)/2  = 30 °- углы при основании равны. 2) АН =8 см — высота к боковой стороне АВ ⇒∠Н=90°⇒

ΔАНС  —  прямоугольный , АС- гипотенуза ,  АН и НС — катеты.

Из пункта 1)   ∠С=30°.

Сторона , лежащая напротив угла в 30° равна половине гипотенузы:

АН = АС/2  ⇒ АС= 2 * АН

АС = 2*8= 16 см

Ответ:  АС= 16 см  — основание ΔАВС.

Задание 110

Учитель предложил ученику вырезать из листа картона размером 8X8 клеток восемь квадратов размером 2X2 клетки при условии не портить клетки, которые остались. Потом оказалось, что нужен ещё один такой квадрат. Всегда ли можно вырезать его из остатков листа?

Ответ:

Всегда можно. При вырезании квадратов 2 × 2 будет задето не более восьми раскрашенных квадратов. Поэтому один закрашенный квадрат гарантированно останется.