Геометрия 8 класс Мерзляк Признаки параллелограмма учебник страница 25

Задание 93

На диагонали АС параллелограмма ABCD отметили точки М и К так, что AM = СК. Докажите, что четырёхугольник MBKD — параллелограмм.

Ответ:

АВ=СД (по условию)

АМ=СК ( по условию)

∠КСД= ∠ ЕАВ (внутр накрест леж.)  ⇒ ВМ=ДК, и значит Δ АВМ = Δ СДК (по двум сторонам и углу)

АД=СВ (по условию)

АМ=СК (по условию)

∠ МАД= ∠ КСВ (внутр накрест леж.)  ⇒  ВК=ДМ,  и значит Δ АМД = Δ СКВ (по двум сторонам и углу)

Т.к. подобие треугольников доказано ⇒ MBKD-параллелограмм

Задание 94

Две окружности имеют общий центр О (рис. 37). В одной из окружностей проведён диаметр АВ, в другой — диаметр CD. Докажите, что четырёхугольник ACBD — параллелограмм.

Ответ:

Дано: АВ-диаметр окружности

СД-диаметр окружности

Доказать: АВСД-параллелограмм

АВ и СД диаметры, т.е. они проходят через центр окружности и делятся пополам.

Оба диаметра — диагонали искомой фигуры.

У параллелограмма они делятся в точке пересечения пополам. – ЧТД.

Задание 95

Точки Е и F — соответственно середины сторон ВС и AD параллелограмма ABCD. Докажите, что четырёхугольник AECF — параллелограмм.

Ответ:

Дано: АВСД-параллелограмм

Доказать: АЕСF-параллелограмм

BE = DF и параллельны, тк половины противоположных сторон

ED = FB из равенства треугольников ECD и FAB

(по первому признаку равенства треугольников угол С = углу А и стороны, между которыми эти углы попарно совпадают)

И поскольку углы между (ED и AD) и (FB и BC) равны, значит ED параллельна FB. А, значит, BEDF параллелограмм.

Задание 96

На сторонах АВ и CD параллелограмма ABCD отложены равные отрезки AM и СК. Докажите, что четырёхугольник MBKD — параллелограмм.

Ответ:

 Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны. ВС=АD, АВ=CD.  Противоположные углы параллелограмма равны.

Рассмотрим треугольники ВСК и АМD. ВС=АD, СК=АМ, углы С и А равны. Треугольники ВСК и АМD равны по 1-му признаку равенства треугольников. => ВК=МD.  Но и МВ=KD, т.к. от равных сторон  параллелограмма АВ и CD отрезаны равные отрезки.

Если в четырехугольнике противоположные стороны равны, этот четырехугольник — параллелограмм.  ЧТД.

Задание 97

На сторонах параллелограмма ABCD (рис. 38) отложены равные отрезки AM, ВК, СЕ и DF. Докажите, что четырёхугольник MKEF — параллелограмм.

Ответ:

Противоположные стороны параллелограмма взаимно параллельны и равны. Из равенств СЕ-ДF и  АМ=ВК следует,что МК параллельно ЕF, то есть отрезки лежат на параллельных прямых.  Из признаков параллелограмма: Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, этот четырехугольник – параллелограмм. ⇒ MKEF — параллелограмм, ч.т.д.

Задание 98

В треугольнике ABC на продолжении медианы AM за точку М отложили отрезок МК, равный отрезку AM. Определите вид четырёхугольника АВКС.

Ответ:

Дано: треугольник АВС

АМ-медиана

АМ=МК

ВМ=МС–медиана АМ делит сторону ВС пополам.

АМ=МК

ВМ=МС

Четырехугольник АВКС– параллелограмм, так как его диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Задание 99

В четырёхугольнике ABCD известно, что АВ || CD, ZA = АС. Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Ответ:

Пусть ABCD – данный четырехугольник.

По условию AB\\CD ,проводим 2 диагонали так , что AO = OC , BO = OD . Так как углы ( AOB ) и ( COD ) равны (как вертикальные),  то по теореме треугольник AOB равен треугольнику COD , и, следовательно, углы ( OAB ) и ( OCD ) равны.

Эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых ( AB ) и ( CD ) и секущей ( AC ) и по теореме прямые.

 ( AB ) и ( CD ) параллельны. Аналогично из равенства треугольников AOD и COB следует равенство углов ( OAD ) и ( OCB ) и по теореме  – параллельность прямых ( AD ) и ( BC ). Из полученных результатов следует, что четырехугольник ABCD – параллелограмм. Теорема доказана.

Задание 100

Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке М, а биссектриса угла С — сторону AD в точке К. Докажите, что четырёхугольник АМСК — параллелограмм.

Ответ:

Дано: АВСД-параллелограмм

АМ-биссектриса

СК-биссектриса

Доказать: АМСК-параллелограмм

Угол ВАМ=углу ВМА (т.к АМ-биссектриса, они накрест лежащие).

Угол КСД=углу СКД (т.к СМ биссектриса, они накрест лежащие)

Следовательно, АМ=ВМ, а КД=СД

Угол В = углу Д

ВА=СД

ВА=ВМ

СД=КД, значит, ВМ=КД (треугольники АВМ и КСД равны по 1 признаку равенства, АМ=КС)

ВС+ВМ+МС

АД=АК+КД

ВМ=КД

АД=ВС

МС=АК

Если АМ=КС, и МС=АК, то АМСК-параллелограмм.

Задание 101

На рисунке 39 четырёхугольник ABCD — параллелограмм, ZBCP = ZDAE. Докажите, что четырёхугольник АРСЕ — параллелограмм.

Ответ:

Дано: АВСД-параллелограмм

Угол ВСР=углу ДАЕ

Доказать: АРСЕ-параллелограмм

Углы РВС и ЕРА равны, т.к накрест лежащие

АД=ВС (т.к АВСД-параллелограмм)

Треугольники ВРС и ЕДА равны по 2 признаку.

Треугольники АВР и ЕСР равны по 1 признаку (Т.к. АВ=СД, а углы АВР и ЕРС-накрест лежащие)

АР=СЕ

РС=АЕ

ЧТД.