Геометрия 8 класс Мерзляк Признаки параллелограмма учебник страница 24

Вопросы к параграфу 2

Вопрос 1

Какие признаки параллелограмма вы знаете? Сформулируйте их.

Ответ:

Признаки параллелограмма:

две противолежащие стороны равны и параллельны,

противолежащие стороны попарно равны,

диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам,

каждая диагональ делит четырехугольник на два равных треугольника.

Вопрос 2

Среди свойств и признаков параллелограмма укажите взаимно обратные теоремы.

Ответ:

1) Свойство: противолежащие стороны равны.

Признак: Если противолежащие стороны попарно равны, то четырехугольник-параллелограмм.

2) Свойство: В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Признак: Если диагонали точкой пересечения делятся пополам, то четырехугольник-параллелограмм.

Вопрос 3

Какое свойство параллелограмма широко используется на практике?

Ответ:

Параллелограмм не является жесткой фигурой. Эта особенность параллелограмма позволила инженерам применить свойства параллелограмма в практической жизни.

Задание 90

Докажите, что если сумма углов, прилежащих к любой из двух соседних сторон четырёхугольника, равна 180°, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Ответ:

Дано: АВСД-4х угольник

А+В=180 гр

А+Д=180 гр

Доказать: АВСД-параллелограмм.

Доказательство:

АВ-секущая. Угол А и В-односторонние, А+В=180 градусов. Отсюда следует, что АД параллельно ВС.

АД-секущая.

А+Д=180 гр

Углы А и Д односторонние, следовательно, АВ параллельно СД.

Из этого следует, что АВСД-параллелограмм. ЧТД.

Задание 91

Четырёхугольники ABCD и AMKD — параллелограммы (рис. 35). Докажите, что четырёхугольник ВМКС — параллелограмм.

Ответ:

Дано:

АВСД, АМКД-параллелограммы.

Доказать: ВМКС-параллелограмм.

Доказательство:

В параллелограмме abcd: bc||ad и bc=ad

В паралелограмме adkm: mk||ad и mk=ad =>

В четырехугольнике bmkc : bm||mk по признаку параллельности прямых и bc=mk по доказаному => bmkc- параллелограмм.

Задание 92

Отрезок АО — медиана треугольника ABD, отрезок ВО — медиана треугольника ABC (рис. 36). Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Ответ:

Дано: АО-медиана треугольник ABD

BO-медиана треугольника ABC.

Доказать: ABCD-параллелограмм.

BO=OD т.к. AO медиана ΔABD.

AO=OC т.к. BO медиана ΔABC.

В четырёхугольнике ABCD диагонали (AC и BD) делятся точкой пересечения (O) пополам (BO=OD и AO=OC), поэтому ABCD — параллелограмм, что и требовалось доказать.