Геометрия 8 класс учебник Мерзляк Параллелограмм. Свойства параллелограмма страница 20

Задание 74

Через каждую вершину треугольника ABC проведена прямая, параллельная противолежащей стороне. Сумма периметров всех образовавшихся параллелограммов равна 100 см. Найдите периметр треугольника ABC.

Ответ:

Дано: АВС-треугольник

Р авс-?

2(a+b) + 2(b+c) + 2(c+a) = 100 см

a+b + b+с + c+a = 50 см

2(a+b+c) = 50 см

P(ABC) = 25 см

Задание 75

Постройте параллелограмм: 1) по двум сторонам и углу между ними; 2) по двум диагоналям и стороне; 3) по стороне, диагонали и углу между ними.

Ответ:

1) Через вершины В и C проводим прямые, параллельные сторонам АС и АВ, соответственно, точка пересечения С является четвертой вершиной искомого параллелограмма ABCD.

2) Строим ΔВСО по двум сторонам, которые являются половинами данных диагоналей, и углу между ними.

Далее на продолжениях сторон ВО и СО и откладываем отрезки OD и ОА, соответственно равные половинам диагоналей. Получаем искомый параллелограмм ABCD.

3)

Задание 76

Постройте параллелограмм: 1) по двум сторонам и диагонали; 2) по двум диагоналям и углу между ними.

Ответ:

1) Отложим на прямой Л от точки А отрезок АВ=в

От точки А и В отложим окружности.

2) Отложим на прямой Л от точки А отрезок АС

Диагонали пересекаются в точке пересечения и делятся пополам.

От точки О отложим угол,  равный углу Л.

Задание 77

Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Постройте параллелограмм, вершинами которого являются данные точки. Сколько решений имеет задача?

Ответ:

Пусть даны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Соединим попарно эти точки и получим ΔАВС. Через каждую вершину треугольника проведем прямую параллельную противолежащей ему стороне треугольника. Полученные четырехугольники АВСВ₁, АВА₁С и АСВС₁ — параллелограммы, так как их противолежащие стороны попарно параллельны. Очевидно, что можно построить только три параллелограмма удовлетворяющим условиям задачи.

Задание 78

Точка пересечения биссектрис двух соседних углов параллелограмма принадлежит его стороне. Найдите отношение соседних сторон параллелограмма.

Ответ:

Дано:

АВСД-параллелограмм

ВМ, АМ-биссектрисы

Найти: АВ/ВС

Решение:

Пусть биссектрисы пересеклись в точке K. (см. рис) Тогда угол BAK равен углу KAD, так как AK-биссектриса; угол KAD равен углу BKA как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AK. Значит, углы BAK и BKA — равны, следовательно, треугольник ABK — равнобедренный (по признаку), и BA=BK. Аналогично доказывается, что KC=CD. Но AB=CD, т.к. ABCD-параллелограмм.

Значит, BC=BK+KC=AB+CD=AB+AB=2*AB. То есть, ВС/АВ=1/2.

Задание 79

На стороне ВС параллелограмма ABCD существует такая точка М, что ВМ = MD = CD. Найдите углы параллелограмма, если AD = BD.

Ответ:

Дано: АВСД

ВМ=МД=СД

АД=ВД

Найти: углы АВСД

Решение:

Пусть угол Д=х

Угол АВД=ВАД = 180-АДВ:2

Угол МВД = углу АДВ=х (накрест лежащие)

СМД=АДМ=2х (накрест лежащие при параллельных ВС и АД и секущей МД)

Угол А=углу С, угол АВС=углу АДС (т.к параллелограмм)

180-х:2=2х

180-х=4х

5х=180

Х=36

Угол А=углу С=2х=2*36=72 гр.

Угол А+угол АВС=180 (т.к односторонние)

72+АВС=180, АВС=108, АДС=108

Ответ: 72, 108, 72, 108.

Задание 80

Постройте параллелограмм: 1) по стороне, проведённой к ней высоте и диагонали; 2) по двум диагоналям и высоте; 3) по острому углу и двум высотам, проведённым к двум соседним сторонам.

Ответ:

1) чертим две параллельные линии на расстоянии высоты. Ставим циркуль, растворенный на длину 1 диагонали на произвольную точку (А) на одной из параллельных прямых, пересекаем вторую параллельную прямую в точке (C). Первую диагональ построили. Зная, что в параллелограмме диагонали делят друг друга пополам делаем следующее: Находим центр построенной диагонали АС. Растворяем циркуль на длину половины второй диагонали. Чертим круг, находим точки пересечения B и D. Параллелограмм построен.

2) На прямой от произвольной точки отложим перпендикуляр. Проведем параллельную к перпендикуляру. Разделим АС точкой О пополам.

3) От точки А на прямой отложим угол. Проведем перпендикуляр к углу. АВСД- искомый параллелограмм.

Задание 81

Постройте параллелограмм: 1) по двум сторонам и высоте; 2) по диагонали и двум высотам, проведённым к двум соседним сторонам.

Ответ:

1) По трем сторонам (две стороны равны сторонам параллелограмма, а третья сторона — диагональ параллелограмма). Через вершины С и А проведем прямые, параллельные сторонам AD и DC, соответственно точка пересечения В будет являться четвертой вершиной искомого параллелограмма ABCD.

2) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Построим треугольник по трем сторонам (первая сторона является стороной параллелограмма, две другие равны половине диагоналей). На продолжении стороны АО отложим отрезок ОС=ДО, а на продолжении стороны DO отложим отрезок ОВ=ДО. Точки В и С являются вершинами искомого параллелограмма ABCD.

Задание 82

Из вершины В параллелограмма ABCD опущен перпендикуляр BE на диагональ АС. Через точку А проведена прямая т, перпендикулярная прямой AD, а через точку С — прямая п, перпендикулярная прямой CD. Докажите, что точка пересечения прямых тип принадлежит прямой BE.

Ответ:

Доказательство того, что О принадлежит ВЕ.

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Построим параллелограмм ABCD. AB ∥ CD; BC ∥ AD.

m ⊥ AD; A ∈ m, n ⊥ CD; C ∈ n; m ∩ n = O, BE ⊥ AC; E ∈ AC.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. То есть высота треугольника может быть как внутри треугольника, так и снаружи, в зависимости от углов.

n ⊥ DC ⇒ n ⊥ AB, т.к AB ∥ CD

Значит, СО высота, проведённая к прямой АВ .

m ⊥ AD ⇒ m ⊥ BC.

Т. О — точка пересечения высот.

Значит ВЕ-высота.

ЧТД.

Задание 83

Постройте параллелограмм по стороне, сумме диагоналей и углу между диагоналями.

Ответ:

С помощью циркуля и линейки построим ∠LEG = α

Отложим отрезок АВ= α

С помощью циркуля и линейки проведём серединный перпендикуляр к стороне EA.

Соединим точки A, O.

WО ⇒ EW = WA

WО ⇒ ∠EWO = ∠AWO = 90 гр.

 WО-общ. Сторона  △EWO и △OWA

△EWO = △OWA ⇒ AO = EO

EO = OA ⇒ △ EOA ⇒ ∠ EAO = 2/α

∠AOE = 180 – 2* α/2 = 180 – α

∠AOE + ∠AOB = 180 (т.к углы смежные) ⇒ ∠AOB = 180 − (180 − α) = α.

АВДЕ-искомый параллелограмм.

Задание 84

На сторонах АВ и ВС параллелограмма ABCD вне его построены равносторонние треугольники АВМ и ВСК. Докажите, что треугольник MKD — равносторонний.

Ответ:

треугольники АВМ и ВСК  равны (по 2-м сторонам и углу между ними):

AB=DC (параллелограмм) DC=DL (равносторонний, т.е правильный треугольник)

Аналогично BP=AD

углы ABP=ADL=360-60-ABC = 360-60-ADC (ABC=ADC т.к. параллелограмм)

=> AP=AL

В треугольнике ВСК две стороны такие же, как в треугольнике АВМ

Угол PCL=60+60+BCD = 120+180-ADC = 300-ADC = ADL => и этот треугольник равен двум, рассмотренным выше => AP=AL=PL. ЧТД.