Геометрия 8 класс учебник Мерзляк Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника страница 125

Задание 579

Постройте угол: 1) тангенс которого равен 4/5 ; 2) синус которого равен 2/3.

Ответ:

1) tg (∠ABD) = AC/CB = 4/5

2) sin (∠ABD) = AC/AB – 2/3

Задание 580

Постройте угол: 1) косинус которого равен 1/4 ; 2) котангенс которого равен ½

Ответ:

1) cos (∠CAB) = AC/AB = 1/4

2) cts (∠CAB) = AC/CB = ½

Задание 581

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника соответственно равны 8 см и 10 см. Найдите: 1) синус угла, противолежащего меньшему катету; 2) косинус угла, прилежащего к большему катету; 3) тангенс угла, противолежащего меньшему катету; 4) котангенс угла, прилежащего к большему катету.

Ответ:

AC² = BC²-AB²

AC² = 10² — 8² = 100-64= 36

АС = √ 36 AC = 6

1) sin = AC/BC sin = 6/10 = 0.6

2) cos = AB/BC cos = 8/10 = 0.8

3) tg = AC/AB tg = 6/8 = 0.75

4) ctg = AB/AC ctg = 8/6 ≈ 1.3

Задание 582

Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 2 см. Найдите: 1) тангенс угла, прилежащего к большему катету; 2) синус угла, противолежащего меньшему катету; 3) косинус угла, прилежащего к большему катету; 4) котангенс угла, противолежащего большему катету.

Ответ:

Синус — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс — это отношение прилежащего катета к противолежащему.

По условию катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 2 см, тогда по теореме Пифагора найдем его гипотенузу: 3² + 2² = 9 + 4 = 13, т.е. гипотенуза равна √13 см (см. рис. к задаче).

1) больший катет равен 3 см, поэтому тангенс этого угла будет равен 2/3;

2) меньший катет равен 2 см, поэтому синус нужного угла буде равен 2/√13;

3) больший катет равен 3 см, поэтому косинус нужного угла будет равен 3/√13;

4)больший катет равен 3 см, поэтому котангенс нужного угла будет равен 2/3.

Задание 583

Найдите значение выражения: 1) cos2 45° + tg2 60°; 2) 2cos2 60° — sin2 30° + sin 60° ctg 60°.

Ответ:

а) 2 sin 60°•ctg 60° = 2 * √3/2 * √3/3 = (3*2)/(3*2) = 1

в) 7 tg30°•ctg 30° = 7 * √3/3 * √3 = 7

б)  2 sin 45° — 4 cos 30° = 2 * √2/2 —  4 * √3/2=√2- 2√3

г) 6 ctg 60°- 2 sin 60° = 6 * √3/3 — 2 * √3/2 = 2√3 — √3 = √3

Задание 584

Найдите значение выражения: 1) cos2 30° — sin2 45°; 2) 3tg2 30° + 4tg 45° + cos 30° ctg 30°.

Ответ:

1) (√2/2)² + (√3)² = √2²/2² + 3 = 2/4 + 3 = 0,5 + 3 = 3,5

2) 2 * (½)² – (½)² + √3/2 * √3/3 =   ̶2̶¹ * 1/ ̶4̶² – ¼ +  ̶3̶¹/2* ̶3̶¹ = ½ – ¼ + ½ = 1 – ¼ = 1 – 0,25 = 0,75

Задание 585

В треугольнике ABC известно, что /С = 90°, ВС = 77 см, АВ = 125 см. Найдите синусы острых углов треугольника.

Ответ:

Дано:

ΔABC (∠C = 90°)

BC = 77

AB = 125

Найти:

sin ∠A; sin ∠B

Решение:

По теореме Пифагора:

AB² = AC² + BC²;

AC² = 125² — 77² = (125 — 77)(125 + 77) = 48 · 202

AC = 4√606 ≈ 98,5

sin A = BC ÷ AB = 77 ÷ 125 = 0,616

sin B = AC ÷ AB ≈ 98,5 ÷ 125 = 0,788

Задание 586

В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, ВС = 41 см, АС = 20 см. Найдите косинусы острых углов треугольника.

Ответ:

косинус угла А равен= АС/АВ

косинус угла В = ВС/АВ

АВ- гипотинуза , по теореме Пифагора

находим

АВ в квадрате = 20 в квадрате + 41 в квадрате = приблизительно 45,6

косинус А = 20/45,6= приблизительно 0,44

косинус В = 41/45,6= приблизительно 0,89

Задание 587

Найдите sin a, tg α и ctg α, если cos α = 1/3

Ответ:

Задание 588

Найдите cos β, tg β и ctg β, если sin β = 4/5.

Ответ:

По основной тригонометрической формуле:

сosB=√(1-sin^2B)=√(1-16/25)=3/5.

tgB=sinB/coB=3/5 : 4/5=3/4.

ctgB=1/tgB=1 : 3/4 =4/3.

Задание 589

Синус острого угла прямоугольного треугольника равен √3/3. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс второго острого угла этого треугольника.

Ответ:

Дано треугольник АВС угол С = 90 sin = √3/3

Найти углы sin в cos в tg в ctg в

Решение

составим уравнение

а = 90-в

в = 90-а

на основание чего получим

sin в = sin(90-a)

sin (90-a) = cos a = √1-sin^2a = √1-(√3/3)^2 = √6/3

проведем расчет углов:

cos в = √1-sin^2в = √1-(√6/3)^2 = √3/3

tg в = sin в / cos в = √6*3/3*√3 = √2

ctg в  = 1/ tgв = 1/√2 = √2/2

Ответ: √6/3 , √3/3, √2, √2/2