Геометрия 8 класс учебник Мерзляк Теорема Пифагора страница 119

Задание 571

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит её меньшее основание на отрезки длиной б см и 3 см, считая от вершины прямого угла. Вычислите периметр трапеции.

Ответ:

∠COD = 180 ∘ − (∠OCD + ∠ODC)

∠COD = 180 ∘ − (x + y)

∠COD = 180 ∘ − 90 ∘

∠COD = 90 ∘

K3D = 6²/3

K2D = 36/3

K2D = 12 cv

AD = AK1 + K1D

AB = 2OK1

AB = 2 ⋅ 6

AB = 12

BC = BK + KC

BC = 6 + 3

PABCD = AB + BC + CD + AD

PABCD = 12 + 9 + 15 + 18

PABCD = 54 см

Задание 572

Катеты прямоугольного треугольника равны 18 см и 24 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины меньшего острого угла.

Ответ:

Дан треугольник АВС, <C=90.По теореме Пифагора гипотенуза АВ² =

АС² + ВС², АВ²  = 900

АВ=30.

Проведём биссектрису ВЕ.

Биссектриса делит сторону на части пропорциональные прилежашим сторонам, пусть Е точка пересечения биссектрисы и противолежащей стороны, меньший угол в треугольнике лежит напротив меньшей стороны.

Меньшая сторона АС=18 см. Пусть АЕ=х, тогда ЕС= 18 -х. Составим пропорцию: АЕ/ЕС= 30/24

х/18-х = 5/4

Решим это уравнение, получим х=10, поэтому АЕ=10, ЕС=8 см.

Рассмотрим треугольник ВЕС, <C = 90, по теореме Пифагора, получим,

ВЕ² = ЕС² + ВС² = 8² + 24² = 640

ВЕ= √640 = 8√10

Задание 573

Медианы AM и СК треугольника ABC перпендикулярны. Найдите стороны треугольника, если AM = 9 см и СК =12 см.

Ответ:

Медианы АМ и СК треугольнике АВС перпендикулярны. Найти стороны треугольника, если АМ= 9, СК= 12.

Решение:

Медианы треугольника точкой пересечения О делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Дано: АМ=9, СК=12. Значит АО=9*(2/3)=6, ОМ=3, СО=12*(2/3)=8,

ОК = 4.

В прямоугольном треугольнике АОС (угол АОС=90° — дано)

гипотенуза АС по Пифагору равна АС=√(АО²+ОС²) или

АС=√(6²+8²)=10.

В прямоугольном треугольнике АОК (угол АОК=90° — дано) гипотенуза АК по Пифагору равна АК=√(АО²+ОК²) или АК=√(6²+4²)=2√13. АВ=2*АК, так как СК — медиана. АВ=4√13.

В прямоугольном треугольнике СОМ (угол СОМ=90° — дано) гипотенуза СМ по Пифагору равна СМ=√(ОМ²+ОС²) или СМ=√(3²+8²)=√73. ВС=2*СМ, так как АМ — медиана. ВС=2√73.

Ответ: стороны треугольника равны АС=10; АВ=4√13≈14,4; ВС=2√73≈17.

Проверка:

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольника. Площадь одного из них равна Saok=(1/2)*6*4=12. Значит Sabc=6*12=72.

В то же время по Герону Sabc=√[p(p-a)(p-b)(p-c)], где р — полупериметр треугольника, а,b,c — его стороны. Полупериметр равен:

р=(2√73+4√13+10)/2=(√73+2√13+5).

Подставим найденные значения в формулу:

Sabc=√[(√73+(2√13+5))*(2√13+5-√73)*(√73+(5-2√13))*(√73-(5-2√13))]= √[((2√13+5)²-73)*(73-(5-2√13)²)]=√[(52+25+20√13-73)*(73-25+20√13-52)]=√[(20√13+4)*(20√13-4)]=√(5200-16)=72.

Задание 574

В треугольнике ABC медианы ВМ и СК перпендикулярны и пересекаются в точке О. Найдите отрезок АО, если ВМ= 36 см и СК = 15 см.

Ответ:

Треугольник АВС, АК=ВК, АМ=СМ, если прямые которые пересекают стороны угла отсекают на его сторонах равные отрезки то прямые параллельны, КМ параллельна ВС, КМ-средняя линия, угол МОК=угол ВОС как вертикальные, угол КМО=уголОВС как внутренние разносторонние Треугольник КОМ подобен треугольнику СОВ по двум углам.

АО:ОА1=2:1

АО=2ОА1=26 см

Задание 575

Над озером тихим, с полфута высотой Высится лотоса цветок. И ветер порывистый Отнёс его в сторону. Нет больше цветка над водой. Нашёл его рыбак В двух футах от места, где он рос. Итак, предлагаю вопрос: Как глубока здесь озера вода?

Ответ:

Если глубину тихого озера обозначить Х, то исходная длина стебля Х+0,5, и это же есть гипотенуза, а сама глубина — катет. И теорема Пифагора, когда цветока отнесло ветром, выклядит как (X+0,5)² = X² + 2². отсюда Х=3,75 фута

Задание 576

В треугольнике ABC известно, что ∠С = 90°, АВ = 13 см, ВС = 5 см, AС = 12 см. Найдите отношение: 1) катета, прилежащего к углу Л, и гипотенузы; 2) катета, противолежащего углу Л, и гипотенузы; 3) катета, прилежащего к углу В, и гипотенузы; 4) катета, прилежащего к углу В, и катета, противолежащего этому углу.

Ответ:

В прямоугольном треугольнике АВС катетами есть стороны АС и ВС, так как угол С по заданию прямой (90град). Противоположная сторона от прямого угла С, то есть сторона АВ является гипотенузой.

Таким образом:

1) Катет, прилежащий к углу А это катет АС, он равен 12, соотношение его к гипотенузе равно 12/13;

2) Катет, противолежащий углу А это катет ВС, он равен 5, соотношение его к гипотенузе равно 5/13;

3) Катет, прилежащий к углу В есть катет ВС, соотношение его к гипотенузе равно 5/13.

Задание 577

На одной стороне угла Л отметили точки В, С и D так, что АВ = ВС = 5 см, CD= 10 см (рис. 179). Из точек B,C и D опущены перпендикуляры BE, CF и DM на другую сторону угла A, причём АЕ == 4 см. Найдите отношение катета, прилежащего к углу А, и гипотенузы: 1) в треугольнике АЕВ 3) в треугольнике AMD. 2) в треугольнике AFC

Ответ:

АС параллельно ЕD, т.к. треугольник АВС подобен треугольнику BDE по второму признаку: угол В — общий, а значит равный в треугольниках, отношение сторон ВD/ВА=ВЕ/ВС.

Коэффициент подобия: к=9,3/3,1=12,6/4,2=3.

1) отношение периметров равно коэффициенту подобия, значит Р(АВС)/Р(DВЕ)=3

2) отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, значит S(АВС)/S(DВЕ)=3*3=9.

Ответ: AC||ED; а) 1:3; б) 3:1; 9:1.