Геометрия 8 класс учебник Мерзляк Теорема Пифагора страница 118

Задание 558

Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых относятся как 5 : 6, а проекции этих наклонных на прямую равны 7 см и 18 см. Найдите расстояние от данной точки до этой прямой.

Ответ:

AB² = AH² + BH²

BH² = AB² – AH²

BH² = 25x² – 49

BC² = BH² + HC²

6x² = 25x² – 49 + 18²

36x² = 25x² – 49 + 18²

36x² – 25x² – 275

11x² = 275

x² = 275:11

x² = 25 => x = √25 = 5

Задание 559

Из точки к прямой проведены две наклонные длиной 15 см и 27 см. Сумма длин проекций этих наклонных на прямую равна см. Найдите проекцию каждой наклонной. *

Ответ:

AB² = BH² + AH²

AH² = 225 – (24 – HC) ²

 27² = HC² + 225 – (576 – 48HC + HC²)

729 = HC² + 225 – 576 + 48HC – HC²

1080 = 48HC

HC = 22, 5

BH = 24 − 22, 5 = 1, 5 см

Задание 560

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит один из его катетов на отрезки 2 см и 6 см. Найдите стороны треугольника.

Ответ:

Меньший из отрезков катета равен радиусу вписанной окружности

r = 2 см

меньший катет

a = 2+x см

больший катет

b = 2+6 = 8 см

гипотенуза

с = 6+x см

По теореме Пифагора

a² + b² = c²

(2+x) + 8² = (6+x)²

4 + 4x + x² + 64 = 36 + 12x + x²

68 = 36 + 8x

32 = 8x

x = 4 см

с = 4+6 = 10 см

В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы

R = c/2 = 10/2 = 5 см

Задание 561

Найдите стороны параллелограмма, диагонали которого равны 16 см и 20 см, если одна из диагоналей перпендикулярна его стороне.

Ответ:

BO = OD = BD : 2 = 16 : 2 = 8 см

AO = OC = AC : 2 = 20 : 2 = 10 см

По т. Пифагора:

Задание 562

Найдите периметр прямоугольного треугольника, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки длиной 30 см и 40 см.

Ответ:

Обозначим стороны прямоугольного треугольника A, B и C, с прямым углом C, и биссектрису CH. По условию BH=30, и AH=40, поэтому найдём гипотенузу AB: AB=BH+AH=30+40=70. По теореме о биссектрисе BH/AH=BC/AC=30/40.То есть, сторона BC имеет 30 пропорций, а сторона AC-40 пропорций. Обозначив коэффициент за x, по теореме Пифагора найдём его: (30x)^2+(40x)^2=70^2;

900x^2+1600x^2=4900;

2500x^2=4900;

x^2=1.96;

отсюда x=1.4. Теперь найдём стороны треугольника BC и AC,:

BC=30x=30*1,4=42; AC=40x=40*1.4=56.

Периметр= 42+56+70=168 см

Задание 563

Найдите периметр прямоугольного треугольника, если биссектриса острого угла делит противолежащий катет на отрезки длиной 24 см и 51 см.

Ответ:

Биссектриса делит противолежащую сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: Пусть х — коэффициент пропорциональности, тогда ВС = 8х, ВА = 17х. По теореме Пифагора: АС² + ВС² = ВА². АС = 24 + 51 = 75 см 75² + (8x)² = (17x)²

5625 = 289x² — 64x² 5625 = 225x²

x² = 625: 225

x² = 25

x = 5

BC = 8 · 5 = 40 см

BA = 17 · 5 = 85 см.

Периметр= 75+40+85=200 см.

Задание 564

На противоположных берегах реки растут одна напротив другой две пальмы. Высота одной из них равна 30 локтей, другой — 20 локтей, а расстояние между основаниями пальм — 50 локтей. На вершине каждой пальмы сидит птица. Вдруг обе птицы увидели рыбу, которая показалась на поверхности воды между пальмами. Они взлетели с пальм одновременно и, двигаясь с одинаковой скоростью, одновременно схватили рыбу.

Ответ:

В треугольнике АDВ: АВ2 =ВD2 +А D2 =302 +Х2=900+Х2; в треугольнике АЕС: АС2= СЕ2+АЕ2 =202+(50 – Х) 2 =400+2500 – 100Х+Х2=2900 – 100Х+Х2. Но АВ=АС, так как обе птицы пролетели эти расстояния за одинаковое время. Поэтому АВ2 =АС2 , 900+Х2 =2900 – 100Х+Х2, 100Х=2000, Х=20, АD=20. Значит, рыба была на расстоянии 20 локтей от большой пальмы.

Ответ: 20 локтей.

Задание 565

Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 20 см, а диагональ является биссектрисой тупого угла трапеции. Найдите эту диагональ.

Ответ:

AH = (AD − BC) : 2 = (20 − 12) : 2 = 8 : 2 = 4 см

HD = AD − AH = 20 − 4 = 16 см

AB² = BH² + AH²

20² = BH² + 4²

400 = BH² + 16

BH = √384

BD² = BH² = DH²

BD² = (√382)² + 16²

BD² = 8√10 см

Задание 566

Основания прямоугольной трапеции равны 18 см и 12 см, а диагональ является биссектрисой острого угла трапеции. Найдите эту диагональ.

Ответ:

Так как ВД, по условию, биссектриса угла АДС, то она отсекает равнобедренный треугольник ВСД. СД = ВС = 12 см.

Построим высоту СН. Четырехугольник АВСН прямоугольник, тогда АН = ВС = 12 см.

ДН = АД – АН = 18 – 12 = 6 см.

В прямоугольном треугольнике СДН катет ДН = СД / 2, тогда угол ДСН = 30⁰.

Тогда угол ВСД = ВСН + ДСН = 90 + 30 = 120⁰.

В треугольнике ВСД по теореме косинусов определим длину стороны ВД.

ВД² = ВС² + СД² – 2 * ВС * СД * Cos120 = 144 + 144 – 2 * 12 * 12 * (-1/2) = 3 * 144.

ВД = 12 * √3 см.

Ответ: Длина диагонали равна 12 * √3 см.

Задание 567

В окружности по разные стороны от её центра проведены две параллельные хорды длиной 16 см и 32 см. Расстояние между хордами равно 16 см. Найдите радиус окружности.

Ответ:

R=R

R^2=R^2

Из 2х теорем Пифагора 64 + (12-x)^2 = 256 + x^2

x=-2

Это значит, что хорды таких длин и на таком расстоянии друг от друга не могут находиться по разные стороны от центра.

Задание 568

В окружности по одну сторону от её центра проведены две параллельные хорды длиной 48 см и 24 см. Расстояние между хордами равно 12 см. Найдите радиус окружности.

Ответ:

Дано:

AB=24 см

СД=48 см

РВ=12 см

КД=24 см

Найти: радиус

РК=12 см

КО=х см

ОР=12+х

по теореме Пифагора

ОВ²=(12+х)²+12²

ОД²=х²+24²

ОВ=ДО=R

х²+24²=(12+х)²+12²

х²+576=144+24х+х²+144

24х=288

х=12

R²=12²+24²

R²=144+576

R=12√5

Задание 569

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, равен 12 см, а расстояние от вершины равнобедренного треугольника до центра окружности — 20 см. Найдите периметр данного треугольника.

Ответ:

BD² = 20² – 12² = 256

AB² = AH² + BH², где AB = AD + DB = AD + 16 = AB + 16

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки.

BH ⊥ AC

AB = BC = 16 + 24 = 40 AC = AH + HC = AH + AH = 24 + 24 = 48 см

PABC = 48 + 40 + 40 = 128 см

Задание 570

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, делит её большее основание на отрезки длиной 20 см и 25 см, считая от вершины прямого угла. Вычислите периметр трапеции.

Ответ:

Высота трапеции — это диаметр вписанной в нее окружности.

Знаем, если в трапецию вписана окружность с радиусом r и она делит точкой касания боковую сторону на отрезки a и b, то r=√a*b

Находим радиус окружности r=√4*25=√100=10 см

Теперь найдем диаметр, то есть высоту трапеции 10*2=20 см

Ответ: высота трапеции равна 20 см