Геометрия 8 класс учебник Мерзляк Теорема Пифагора страница 117

Задание 548

Найдите длину неизвестного отрезка х на рисунке 177 (размеры даны в сантиметрах).

Ответ:

А) AC² = AB² + BC²

AC² = 2² + 1²

AC² = 4 + 1 = 5

AC = √5

∠C = 90∘

АВ² = AC² + CD²

AD² = (√5)² + 1²

AD² = 5 + 1 = 6

AD = √6 см

Б)  AB² = 4² – (√13)²

AB² = 16 – 13 = 3

AB = √3 см

В) AD² = (√7)² + (2+3)²

AD² = 7 + 25

AD = √32 = √2*16 = 4√2 см

Задание 549

Найдите длину неизвестного отрезка х на рисунке 178 (размеры даны в сантиметрах).

Ответ:

Задание 550

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к боковой стороне, равна 8 см. Она делит боковую сторону на два отрезка, один из которых, прилежащий к вершине равнобедренного треугольника, равен б см. Найдите основание треугольника.

Ответ:

В прямоугольном Δ , образованном h=8, отрезком а1=6 и стороной треугольника а по теореме Пифагора а^2=h^2+a1^2, следовательно сторона а=10. В другом прямоугольном Δ, образованном h, отрезком (a — 6)=4 и основанием с также по теореме: h^2+4^2=c^2.

Ответ: основание равнобедренного Δ с=8,94.

Задание 551

Высота равнобедренного треугольника, опущенная на боковую сторону, делит её на отрезки длиной 4 см и 16 см, считая от вершины угла при основании. Найдите основание равнобедренного треугольника.

Ответ:

Треугольник АВС, АВ = ВС, АН — высота, ВН = 4 см, СН = 16 см.

1) Найдем длину боковой стороны треугольника АВС:

ВС = ВН + СН;

ВС = 4 + 16 = 20 (см).

Тогда:

АВ = ВС = 20 см.

2) Рассмотрим треугольник АНВ: угол АНВ = 90 градусов, АВ = 20 см — гипотенуза, ВН = 4 см и АН — катеты.

По теореме Пифагора:

АН = √(AB^2 — BH^2) = √(20^2 — 4^2) = √(400 — 16) = √384 = 8√6 (см).

3) Рассмотрим треугольник АНС: угол АНС = 90 градусов, АС –гипотенуза, АН = 8√6 см и СН = 16 см — катеты.

По теореме Пифагора:

АС = √(АН^2 + СН^2) = √((8√6)^2 + 16^2) = √(384 + 256) = √640 = 8√10 (см).

4) Периметр — это сумма длин всех сторон:

Р = АВ + ВС + АС;

Р = 20 + 20 + 8√10 = 40 + 8√10 (см).

Ответ: Р = 40 + 8√10 см.

Задание 552

Основание равнобедренного тупоугольного треугольника равно 24 см, а радиус окружности, описанной около него, — 13 см. Найдите боковую сторону треугольника.

Ответ:

Если треугольник равнобедренный и тупоугольный (пусть ВС и ВА- бок. стороны) , то проводи 2 R :первый к точке В, а второй к точке А (или С) . тогда R к точке В делит сторону АС пополам и образует с ней прямой угол (пересекает в точке Н) . Тогда по теореме Пифагора: ОН^2 = АН^2+R^2 (АН=1\2*АС=12см) . Отсюда ОН=5 см.

R=OH+HB => HB=R-OH=8 см.

ВС^2=HB^2+AH^2 BC=15см.

Задание 553

Высота равнобедренного треугольника, проведённая к его основанию, равна 8 см, а радиус окружности, описанной около него, — 5 см. Найдите боковую сторону треугольника.

Ответ:

Так как площадь треугольника равна 0,5a*h( где a-основание), то

S=b*b*a4R (где b боковая сторона)

S=b*b*a4R=0,5a*h

боковая  сторона = 4√5

Задание 554

Основание равнобедренного треугольника на 2 см больше боковой стороны. Найдите стороны треугольника, если высота, проведённая к основанию, равна 8 см.

Ответ:

Пусть боковая сторона равна х, тогда другая боковая сторона тоже х, а основание х+2. Высота ,проведенная к основанию, является также медианой, поэтому образуется прямоугольный треугольник с катетами 8 и х/2+1 и гипотенузой х. Отсюда найдем х по теореме Пифагора.х^2= 64+(х/2+1)^2.

3/4*х^2-х-65=0 или 3*х^2-4[-65. решаем, корни 10  и -26/3. Отрицательный не подходит. Ответ: 10,10, 12

Задание 555

Периметр равнобедренного треугольника равен 90 см, а высота, проведённая к основанию, — 15 см. Найдите стороны треугольника.

Ответ:

Пусть боковая сторона треугольника равна а. Тогда основание равно периметр — 2а = 90-2а.

Так как треугольник равнобедренный и к его основанию проведена высота, то она же и медиана, и биссектриса и делит исходных треугольник на 2 равных. Итак, если проведена медиана, то половина основания = 45-а.

Рассмотрим треугольник, образованный боковой стороной, половиной основания и высотой. Он прямоугольный, потому что высота перпендикулярна основанию. По теореме

Пифагора а^2=15^2+(45-а)^2. Отсюда а=25, тогда 45-а=20.

90-2а=40

Ответ: 25, 25, 40.

Задание 556

Стороны тупоугольного треугольника равны 29 см, 25 см и 6 см. Найдите высоту треугольника, проведённую к меньшей стороне.

Ответ:

В треугольнике ABC со сторонами AB=a=29, AC=b=25 и углом A, равным 2α и биссектрисой l, имеет место равенство: l = ( 2ab / (a+b) ) · cosα — высота, чтобы найти угол А равным 2α воспользуемся a2 = b2+ c2- 2bc cos А; где а=6, b=29, c=25

АВ=25 см

ВС=25 см

АС=40 см

Задание 557

Стороны треугольника равны 36 см, 29 см и 25 см. Найдите высоту треугольника, проведённую к большей стороне.

Ответ:

Обозначим данный по условию треугольник АВС, АВ = 36 см, ВС = 29 см, АС = 25 см. Высота СН делит сторону АВ на отрезки ВН = х см, и АН = 36 – х см.

Высота СН разделила треугольник АВС на два прямоугольных треугольника: ВСН и АСН. В каждом из них запишем СН по теореме Пифагора.

CH² = AC² – AH² = 25² – (36 – x)² = 625 – 1296 + 72x – x² = 72x – x² – 671

CH² = BC² – BH² = 29² – x² = 841 – x².

Получаем уравнение:

72x – x² — 671 = 841 – x²

72х = 1512

х = 21 (см) – отрезок ВН.

CH = √(BC² — BH²) = √(841 – 441) = √400 = 20 (см).

Ответ: высота СН равна 20 см.