Геометрия 8 класс учебник Мерзляк Теорема Пифагора страница 116

Задание 529

Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны: 1) 3 см и 4 см; 2) 6 см и 9 см

Ответ:

По теореме Пифагора, знаем, что а^2+b^2=c^2

Воспользуемся теоремой Пифагора:

1)3×3+4×4=25

Корень 25 = 5

2) 6×6 + 9×9 = 117

Корень 117 = корню 117

Задание 530

Найдите катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза и второй катет соответственно равны: 1) 15 см и 12 см; 2) 7см и √l3 см.

Ответ:

1) Гипотенуза = √15^2-12^2=225-144=81 корень 81=9, следовательно гипотенуза равна 9

2) Гипотенуза = √(7^2- √13^2)= 49-13=√36=6

Задание 531

Пусть а и b — катеты прямоугольного треугольника, с — его гипотенуза. Найдите неизвестную сторону треугольника, если: 1) а = 5 см, b = 12 см; 2) а = 1 см, с = 2 см; 3) b = 3 см, с = √90 см.

Ответ:

Задание 532

Стороны прямоугольника равны 9 см и 40 см. Чему равна его диагональ?

Ответ:

По условию известны стороны прямоугольника: 9 см и 40 см. Для определения диагонали, используя теорему Пифагора получим:

a^2 + b^2 = c^2;

9^2 + 40^2 = c^2;

81 + 1600= c^{^2};

c^2 = 1681;

с = √1681;

c = 41 см.

Ответ: диагональ прямоугольника составляет 41 см.

Задание 533

Сторона прямоугольника равна 7 см, а диагональ — 25 см. Найдите соседнюю к данной сторону прямоугольника.

Ответ:

AB2 = AC 2 + BC 2

Задание 534

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 29 см, а высота, проведённая к основанию, — 21 см. Чему равно основание треугольника?

Ответ:

Из прямоугольного треугольника АМВ, по теореме Пифагора АМ²=АВ²-ВМ², АМ²=841-441,

АМ²=400,

АМ=20см. Так как в равнобедренном треугольнике высота является и медианой, а медиана делит сторону пополам, то АС=2АМ, АС=2*20=40 см.

Задание 535

Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна 35 см, а его основание — 24 см. Чему равна боковая сторона треугольника?

Ответ:

Рассмотрим один из прямоугольных треугольников и найдем гипотенузу, то есть боковую сторону. Она равна 35^2+12^2=1369, значит сторона равна 37.

Задание 536

В окружности, радиус которой равен 10 см, проведена хорда длиной 16 см. Найдите расстояние от центра окружности до данной хорды.

Ответ:

Пусть хорда АВ = 16 см. Расстояние от центра до хорды — это отрезок ОК (К — середина АВ) Смотрим ΔОАК. Он прямоугольный. По т. Пифагора: ОК² = 10² — 8² = = 100 — 64 = 36, ⇒ ОК = 6.

Задание 537

Найдите периметр ромба, диагонали которого равны 24 см и 32 см.

Ответ:

Дано:

Ромб;

Диагональ 1 = 24 см;

Диагональ 2 — 32 см;

Периметр — ? см.

Решение:

Ромб — это четырехугольник, у которого все стороны равны. Диагонали ромба пересекаются по прямым углом и точкой пересечения делятся пополам.

Таким образом, диагонали ромба разбивают его на четыре равных прямоугольных треугольника. Катеты каждого треугольника равны половинам диагоналей (12 и 16 см), а сторона ромба — гипотенуза треугольника. Значит сторону ромба можно вычислить по теореме пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

1) √(12^2 + 16^2) = √(144 + 256) = √400 = 20 (см) — сторона ромба.

Периметр — это сумма всех сторон, поэтому:

2) 4 * 20 = 80 (см) — периметр.

Ответ: 80 см.

Задание 538

Сторона ромба равна 26 см, а одна из диагоналей — 48 см. Найдите другую диагональ ромба.

Ответ:

Для решения воспользуемся свойством ромба, согласно которому, диагонали ромба в точке их пересечения делятся пополам. Воспользуемся рисунком.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АОВ, в котором гипотенуза АВ равна длине стороны ромбы 26 см, а катет АО равен половине длины большей диагонали ромба 48 / 2 = 24. Найдем второй катет ОВ этого треугольника, который будет половиной искомой диагонали. По теореме Пифагора АВ² = АО² + ОВ².

ОВ² = АВ² — АО² = 26² — 24² = 100.

ОА = √100 = 10.

Тогда искомая диагональ BD = 2 x АО = 20 см.

Ответ: 20 см.

Задание 539

Один из катетов прямоугольного треугольника равен 21 см, а второй катет на 7 см меньше гипотенузы. Найдите периметр треугольника.

Ответ:

Допустим, что гипотенуза данного треугольника равна х см, тогда второй катет будет равен х — 7 см.

Воспользуемся теоремой Пифагора и составим следующее уравнение:

21² + (х — 7)² = х²,

441 + х² — 14 * х + 49 = х²,

490 — 14 * х = 0,

х = 490 : 14,

х= 35 (см) — длина гипотенузы данного треугольника.

35 — 7 = 28 (см) — длина второго катета.

Таким образом, периметр данного треугольника равен:

Р = 28 + 21 + 35 = 84 (см).

Ответ: 84 см.

Задание 540

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26 см, а катеты относятся как 5:12. Найдите катеты этого треугольника.

Ответ:

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

26² = х² + (5х/12)²

676 = х² + 25х²/144

97344 = 144х² + 25х²

97344 = 169х²

13х = 312

х = 24.

Задание 541

Катет прямоугольного треугольника равен 6 см, а медиана, проведённая к нему, — 5 см. Найдите гипотенузу треугольника.

Ответ:

Так как это медиана то она делит данный катет  на два отрезка, по 3 см каждый.

Рассмотрим  треугольник со катетом 4 и гипотенузой 5:

СВ^2=25-9=16

СВ=4

Тогда АВ^2=4*4+6+6= 52

АВ=2 корня из 13

Гипотенуза= 2 корня из 13

Задание 542

В треугольнике ABC известно, что ВС = 20 см, высота BD делит сторону АС на отрезки AD — 5 см и CD =16 см. Найдите сторону АВ.

Ответ:

По т. Пифагора:

Задание 543

В треугольнике ABC известно, что АВ = 17 см, ВС — 9 см, Z.C — тупой, высота AD равна 8 см. Найдите сторону АС.

Ответ:

Треугольник АДВ прямоугольный, так как АД высота треугольника АВС.

Пусть длина отрезка СД = Х см, тогда длина отрезка ВД = (9 + Х) см.

По теореме Пифагора, из треугольника АВД, АВ² = АД² + ВД².

17² = 8² + (9 + Х)².

289 = 64 + 81 + 18 * Х + Х².

Х² + 18 * Х – 144 = 0.

Решим квадратное уравнение.

Х1 = -24. (Не подходит, так как отрицательное).

Х2 =СД = 6 см.

В прямоугольном треугольнике АСД, по теореме Пифагора, определим длину катета АС.

АС² = АД² + СД² = 64 + 36 = 100.

АС = 10 см.

Ответ: Длина стороны АС равна 10 см.

Задание 544

Найдите высоту равностороннего треугольника со стороной а.

Ответ:

В равностороннем треугольнике все высоты являются медианами. Тогда высота разделит одну из сторон на отрезки, равные 1/2а.

Обозначим высоту h. По теореме Пифагора:

h² = a² — (1/2a)²

h² = a² — 1/4•a²

h² = 3/4a²

h = a√3/2

Ответ: h = a√3/2.

Задание 545

Найдите диагональ квадрата со стороной а.

Ответ:

Пусть а — сторона квадрата.

Две соседних стороны квадрата и диагональ образуют равнобедренный прямоугольный треугольник.

По теореме Пифагора:

d = √(a² + a²) = √(2a²) = a√2

Задание 546

Найдите сторону равностороннего треугольника, высота которого равна h.

Ответ:

Нам дан равносторонний треугольник. Исходя из свойств равностороннего треугольника, запишем формулу для высоты:

h=a√3/2, где а – сторона равностороннего треугольника, h – высота.

Выразим из этой формулы сторону а:

а=2h/√3.

Задание 547

Найдите катеты прямоугольного равнобедренного треугольника, гипотенуза которого равна с.

Ответ:

Если гипотенуза равна c, то по теореме Пифагора и так как треугольник равнобедренный. То

c^2=2a^2

a^2=c^2/2

a=корень{c^2/2}

a=c×корень из 2/2