Геометрия 8 класс учебник Мерзляк Теорема Пифагора страница 114

§ 16. Теорема Пифагора

Задание 525

Периметр параллелограмма больше одной из сторон на 35 см и больше другой стороны на 28 см. Найдите стороны параллелограмма.

Ответ:

Пусть а — длинная сторона, в — короткая сторона.

Пусть Р — периметр.

Р=2(а+в)

а = Р-28

в = Р-35

Подставим значения из 2-го и 3-го уравнений в первое:

Р = 2(Р-28 + Р-35)

Р = 2Р — 56 + 2Р – 70

Р = 4Р – 126

3Р = 126

Р = 126:3

Р = 42 см – периметр

а = 42-28=14 см — длинная сторона

в = 42-35=7 см — короткая сторона

Проверка:

Р = 2(14+7) + 2•21 = 42см

Задание 526

На сторонах АВ, ВС, CD и AD квадрата ABCD отметили соответственно точки М, N, К и Е так, что четырёхугольник MNKE является прямоугольником, стороны которого параллельны диагоналям квадрата. Найдите периметр прямоугольника MNKE, если диагональ квадрата ABCD равна 7 см.

Ответ:

△AH1E ∼ △AOD-по двум углам

AH1/AO = H1E/OD → AH1/H1E = AO/OD

DE1/OD = EF1/OA → DF1/EF1 = OD/OA

DF1/EF1 = OD/OA = 1 → DF1 = EF1

PMNKE = 2 ⋅ (EK + ME)

PMNKE = 2 ⋅ (2y + 2x) = 4 (x + y)

AO = AH1 + H1O

AO = x + y = 3, 5 см

PMNKE = 4 (x + y) = 4 ⋅ 3, 5 = 14 см

Задание 527

В окружность вписана трапеция, диагональ которой делит угол при большем основании пополам. Найдите дуги, на которые делят окружность вершины трапеции, если один из её углов равен 74°.

Ответ:

∠A = ∠D, ∠C = ∠B, ∠A + ∠B = 180

∠BAC = ∠BDA = ∠CAD = ∠BDC

∠BAC = ∠BDA = ∠CAD = ∠BDC

∪BC = ∪AB = ∪CD

∠BAC = 74 : ∘ 2 = 37∘

∪BC = ∪AB = ∪CD = 74∘

∪AD = 360∘ − 3 ⋅ 74 ∘ = 138∘

Задание 528

У вписанного в окружность многоугольника выбрали вершину и провели все диагонали, которым эта вершина принадлежит. Докажите, что среди образовавшихся треугольников не более чем один является остроугольным.

Ответ:

Центр окружности может лежать внутри только одного из образовавшихся треугольников. Он и будет остроугольным.