Геометрия 8 класс учебник Мерзляк Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике страница 113

Задание 512

Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки длиной 5 см и 20 см. Найдите катеты треугольника.

Ответ:

А, В, С — вершины треугольника. ∠С = 90°. АК = 5 сантиметров. ВК = 15 сантиметров.

СК — высота.

Согласно свойствам прямоугольного треугольника, высота СК, проведённая из вершины

прямого угла, рассчитывается по формуле:

СК = √АК х ВК = √5 х 20 =10 сантиметров.

ВС = √СК²+ ВК² = √10² + 20² = √100 + 400 = √500 = 10√5 сантиметров.

АС = √СК²+ АК² = √10 ²+ 5² = √100 + 25 = √125 = 5√5 сантиметров.

Ответ: катеты треугольника ВС =10√5 сантиметров, АС = 5√5 сантиметров.

Задание 513

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна 48 см, а проекция одного из катетов на гипотенузу — 36 см. Найдите стороны данного треугольника.

Ответ:

А, В, С — вершины треугольника. ∠С = 90°. СЕ — высота. Отрезок ВЕ = 36 см.

Вычисляем длину отрезка АЕ, применяя формулу расчёта длины высоты СЕ:

СЕ = √АЕ х ВЕ.

СЕ² = АЕ х ВЕ.

АЕ = СЕ² : ВЕ = 2304 : 36 = 64 см.

ВС = √СЕ² + ВЕ² = √48² + 36² = √2304 + 1296 = √3600 = 60 см.

АС = √СЕ²+ АЕ² = √48²+ 64² = √2304 + 4096 = √6400 = 80 см.

АВ = АЕ + ВЕ = 64 + 36 = 100 см.

Ответ: ВС = 60 см, АС = 80 см, АВ = 100 см.

Задание 514

Найдите катеты прямоугольного треугольника, высота которого делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 3 см меньше этой высоты, а другой — на 4 см больше высоты.

Ответ:

Ответ: 15 и 20 см

Задание 515

Найдите меньший катет прямоугольного треугольника и его высоту, проведённую к гипотенузе, если больший катет меньше гипотенузы на 10 см и больше своей проекции на гипотенузу на 8 см.

Ответ:

hc 2 = acbc a 2 = acb 2 = bc

AB2 = AD ⋅ AC

AB2 = (AB − 8) ⋅ (AB + 10)

AB2 = (AB − 8) ⋅ (AB + 10)

AB2 = AB2 + 10AB − 8AB − 80

2AB = 80

AB = 80 : 2 = 40

AC = AB + 10 = 40 + 10 = 50 см

AD = AB − 8 = 40 − 8 = 32 см

BC 2 = AC ⋅ DC AC = 50 DC = AC − AD = 50 − 32 = 18 см

BC 2 = 50 ⋅ 18 = 900

ВС=30 см

DC = AC − AD = 50 − 32 = 18 см

BD2 = 32 ⋅ 18 = 576

ВД = 24 см

Задание 516

Перпендикуляр, опущенный из точки пересечения диагоналей ромба на его сторону, равен 2 см и делит её на отрезки, относящиеся как 1 : 4. Найдите диагонали ромба.

Ответ:

Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

OH2 = CH ⋅ HD

2 2 = 4HD ⋅ HD

4HD2 = 4

HD2 = 1

HD = 1

CH = 4HD = 4 ⋅ 1 = 4 см

CD = CH + HD = 4 + 1 = 5 см

OC 2 = 5 ⋅ 4

ОС = 2 корня из 5.

АС = 4 корня из 5.

CH + HD = 4 + 1 = 5 см

BD = 2 ⋅ OB = 2 ⋅ корня из 5 = корень из 5.

Задание 517

Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на её диаметр, делит его на два отрезка, один из которых равен 4 см. Найдите радиус окружности, если длина перпендикуляра равна 10 см.

Ответ:

h²𝔠 = a𝔠b𝔠; a² = a𝔠c; b² =b𝔠c

BD2 = AD ⋅ CD

BD2 = AD ⋅ CD

10 2 = AD ⋅ 4

AC = AD + DC = 25 + 4 = 29 см

OC = AC/2 = 29/2 = 12,5 см

Задание 518

Найдите периметр равнобокой трапеции, основания которой равны 7 см и 25 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.

Ответ:

Дано: СКМТ — трапеция, СК=МТ, СМ⊥МТ, КТ⊥КС, КМ=7 см, СТ=25 см.

Найти Р(СКМТ).

Проведем высоты КН и МЕ.

КМЕН — прямоугольник, поэтому ЕН=МК=7 см.

ΔСКН=ΔТМЕ по гипотенузе и острому углу, поэтому и СН=ТЕ=(25-7):2=9 см.

СЕ=СН+ЕН=9+7=16 см.

По свойству высоты, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе, МЕ=√(СЕ*ЕТ)=√(16*9)=4*3=12 см.

Рассмотрим ΔЕМТ, по теореме Пифагора

МТ=√(МЕ²+ЕТ²)=√(144+81)=√225=15 см.

Р=КМ+МТ+СТ+СК=7+15+25+15=62 см.

Задание 519

Центр окружности, описанной около равнобокой трапеции, принадлежит её большему основанию. Найдите радиус этой окружности, если диагональ трапеции равна 20 см, а проекция диагонали на большее основание — 16 см

Ответ:

h²𝔠 = a𝔠b𝔠; a² = a𝔠c; b² =b𝔠c

AD = 20²/16 = 400/16 = 25см

AO = AD/2 = 25/2 = 12,5 см

Задание 520

Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, которая равна 12 см. Найдите среднюю линию трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен 10 см.

Ответ:

AB2 = AD ⋅ AK

h²𝔠 = a𝔠b𝔠; a² = a𝔠c; b² =b𝔠c

12 (2) = 20 ⋅ AK

KD = AD − AK = 20 − 7, 2 = 12, 8 см

Задание 521

Найдите высоту равнобокой трапеции, если её диагональ перпендикулярна боковой стороне, а разность квадратов оснований равна 25 см2.

Ответ:

Высота равнобедренной трапеции, проведенная к большему основанию делит его на два отрезка, длина меньшего из которых равна полуразности, а большего – полусумме длин ее оснований.

АН = (АД – ВС) / 2.

ДН = (АД + ВС) / 2.

ВН есть высота прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, тогда:

ВН² = АН * ДН = ((АД – ВС) / 2) * ((АД + ВС) / 2) = (АД – ВС) * (АД + ВС) / 2 = (АД² – ВС²) / 4 = 25 / 4.

ВН = 5/2 = 2,5 см.

Ответ: Высота трапеции равна 2,5 см.

Задание 522

В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую боковую сторону на отрезки длиной 8 см и 50 см. Найдите периметр трапеции

Ответ:

Рассмотрим трапецию ABCD. По условию задачи:

точка E — точка касания трапеции и вписанной окружности и CE = 8 см, ED = 18 см.

Заметим, что CF = CE = 8 и DE = DH = 18.

Имеем:

CD = 8 + 18 = 26, DH — CF = 18 — 8 =10,

Из вершины C опустим высоту СК и в треугольнике CKD по теореме Пифагора имеем:

FH = CK = √CD^2 — DK^2 = √26^2 — 10^2 = 24 и радиус равен 24 / 2 = 12.

Тогда периметр трапеции:

P = AB + BF + AH + HD + CD + CF = 24 + 12 + 12 + 18 + 26 +8 = 100.

Ответ: 100.

Задание 523

В равнобокую трапецию вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону на отрезки длиной 3 см и 27 см. Найдите высоту трапеции

Ответ:

∠OCD + ∠ODC = 90 ∘

∠OCD + ∠ODC + ∠COD = 180

∠COD = 180 ∘ − ∠ODC − ∠OCD

∠COD = 180 ∘ − 90 ∘ = 90

OK² = CK * KD

OK² = 3 * 27 = 81

OK = √81 = 9 см

MN = 2 ⋅ OK = 2 ⋅ 9 = 18 см

Задание 524

Постройте отрезок длиной х, если х = …,  где а и b — длины данных отрезков.

Ответ:

OC 2 = BO ⋅ OA

OC² = ½b * a = ad/2

X = √ab/2

OC = √ab/2