Геометрия 8 класс учебник Мкрзляк Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике страница 112

§ 15. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Задание 510

Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведённую из вершины прямого угла, если она делит гипотенузу на отрезки длиной 2 см и 18 см.

Ответ:

Пусть АСВ — прямоугольный треугольник с прямым углом С, СК — его высота опущенная на гипотенузу АВ и АК=2 см, ВК=18 см

Тогда

СК2=АК*ВК

СК2=2*18=36=36

СК=6 см

Задание 511

Катет прямоугольного треугольника равен б см, а его проекция на гипотенузу — 4 см. Найдите гипотенузу.

Ответ:

Отрезки гипотенузы, на которые делит её высота, являются проекциями катетов.  АН — проекция АС на АВ.

Способ 1). Обратим внимание на то, что в треугольнике АСН катет АН равен половине гипотенузы АС. Значит, ∠АСН=30° (свойство),  Из суммы углов треугольника ∠САН=180°-90°-30°=60°,  ⇒  ∠АВС=30°. АС противолежит углу 30° ⇒ гипотенуза АВ=2•АС=16 см.

Способ 2). Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит его на треугольники, подобные друг другу и исходному треугольнику ( т.к. в каждом из них имеется равный острый угол). Из подобия следует АС:АВ=АН:АС, откуда АС²=АВ•АН. 64=АВ•4. ⇒ АВ=64:4=16 см.

Отсюда следует свойство: каждый из катетов есть среднее пропорциональное между всей гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.: АС²=АВ•АН