Геометрия 8 класс учебник Мерзляк Проверь себя №2 страница 109

Упражнение 7

Отрезок MN, проведенный через точку пересечения диагоналей неравнобокой трапеции ABCD, параллелен ее основаниям. Сколько пар подобных треугольников изображено на рисунке?

Ответ:

В

Обозначим точку пересечения диагоналей — О.

1) ΔОВС подобен ΔОDA по двум равным углам (∠ОВС = ∠ОDA — накрест лежащие при ВС ║ AD и секущей BD; ∠ОСB = ∠ОAD — накрест лежащие при ВС ║ AD и секущей AC)

2) ΔOCN подобен ΔACD по двум равным углам (∠ОСN = ∠ACD — это общий угол; ∠ОNС = ∠ADC — соответственные углы при MN ║ AD и секущей CD)

3) ΔOВМ подобен ΔDВА по двум равным углам (∠ОВМ = ∠DВА — это общий угол; ∠ОМВ = ∠DАВ — соответственные углы при MN ║ AD и секущей DD)

Упражнение 8

Через вершины А и С неравнобедренного треугольника АВС проведена окружность, которая пересекает стороны ВА и ВС в точках Е и Д соответственно. Какое из данных равенств является верным?

ВС/ВД=ВА/ВС

ВЕ/ВС=ВД/ВА

ДЕ/АС=ВД/ВС

ВД/ДЕ=ВС/АС?

Ответ:

Б

Четырехугольник АЕDC — вписанный. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника 180°.

Угол ЕDС + угол ЕАС=180°. Поэтому ∠ ВDЕ=∠ВАС. Аналогично ∠ВЕD=∠ВСА.  Угол В треугольников АВС и ВЕD общий ⇒ Треугольники АВС и ВЕD подобны по равенству углов. В подобных треугольниках сходственные стороны ( лежащие против равных углов)  пропорциональны. ⇒

ВЕ/ВС = ВD/ВА

Упражнение 9

Хорда АВ пересекает хорду СD в её середине и делится этой точкой на отрезки, равные 4 см и 25 см. Найдите хорду СD.

Ответ:

Г

AK ⋅ BK = CK ⋅ DK

CK = KD = x

x ⋅ x = 4 ⋅ 25

x 2 = 100

x1,2 = ± 10

CK = KD = 10 см

CD = CK + KD = 10 + 10 = 20 см

Упражнение 10

В треугольнике ABC известно, что AB = 10 см, B C= 4 см, CA = 8 см. на стороне AC отмечена точка D такая, что AD = 6 см. Чему равен отрезок BD?

Ответ:

А

Рассмотрим треугольники ABC и DBC с общим углом С.  Они подобны по углу и двум сторонам, относящихся друг к другу в одном соотношении 2:1. Другими словами, стороны относятся друг к другу:

AC / CB = BC / DC = AB / BD, в конкретных величинах: 8 / 4 = 4 / 2 = 10 / BD = 2

Таким образом, BD = 10 / 2 = 5 (см).