Геометрия 8 класс учебник Мерзляк Второй и третий признаки подобия треугольников страница 104

Задание 502

Из точки А проведены два луча AM и AN. На луче AM отмечены точки Н и В, а на луче AN — точки С и D так, что АН • АВ = АС • AD. Докажите, что точки Н, В, С и D лежат на одной окружности.

Ответ:

Дано: H, B ∈ AM; C, D ∈ AN AH ⋅ AB = AC ⋅ AD

AH/AC = AD/AB

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

AH/AC = AD/AB

△AHC ∼ △ABD по второму признаку подобия треугольников.

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия.

△AHC ∼ △ABD

∠ACH = ∠ADB, ∠AHC = ∠ABD

∠AMC = 180 ∘ − ∠CHB

∠ADB = 180 ∘ − ∠CHB

∠ADB + ∠CHB = 180 ∘

Если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна , то около него можно описать окружность.

Задание 503

На медиане ВМ треугольника ABC отметили точку^ К так, что /.МКС = /ВСМ. Докажите, что /АКМ=/ВАМ.

Ответ:

Дано:

△ABC, BM-медиана

Доказать: ∠AKM = ∠BAM

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

∠MKC = ∠BCM

△BMC ∼ △CMK

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия.

BC/CK = BM/CM = MC/MK. т.к. MC = AM

AM/MK = BM/AM

△AMK ∼ △ABM, значит, ∠AKM = ∠BAM.

Задание 504

Отрезки АВ и CD пересекаются в точке М. Известно, что AM ■ MB. Докажите, что точки А, В, С и D лежат на одной окружности.

Ответ:

Дано:

AB ∩ CD = M AM ⋅ MB = CM ⋅ MD

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

AM ⋅ MB = CM ⋅ MD

∠AMC = ∠BMD-вертикальные

∠CAM = ∠MDB и ∠ACM = ∠DBM

∠ABD = ∠ACD

Точки А, Д лежат по одну сторону от прямой СВ.

Значит, по условию принадлежности четырёх точек одной окружности, точки A B C D

лежат на одной окружности, что и требовалось доказать.

Задание 505

На общей хорде двух пересекающихся окружностей отметили точку М и через неё провели хорды АВ и CD (рис. 166). Докажите, что ∠DAB = ∠BCD.

Ответ:

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

AE ⋅ BE = CE ⋅ DE

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия

∠A = ∠A1 ∠B = ∠B1 ∠C = ∠C1

AB/A1B1 = AC/A1C1 = BC/B1C1 = k.

△AEM ∼ △EBM

△CEM ∼ △F DM

AM ⋅ BM = EM ⋅ FM

CM ⋅ DM = EM ⋅ FM

AM ⋅ BM = CM ⋅ DM

AM/CM = DM/BM

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

△DMA ∼ △BMC по второму признаку подобия треугольников.

∠DAB = ∠BCD как соответственные углы подобных треугольников, что и требовалось доказать.

Задание 506

Периметр параллелограмма ABCD равен 46 см, ∠BAD = ∠ADB. Найдите стороны параллелограмма, если периметр треугольника BCD равен 32 см.

Ответ:

1) Треугольник АBD — равнобедренный. Отсюда: BD=AB=b. А теперь решим систему двух равенств:

{2(a+b)=46;

{a+2b=32.

Из первого равенства вычтем второе:

a=14см.

 b=46/2-14=9(см).

Задание 507

На диагонали BD квадрата ABCD отметили точку Е так, что DE = AD. Через точку Е проведена прямая, которая перпендикулярна прямой BD и пересекает сторону АВ в точке F. Докажите, что AF = ЕЕ = BE.

Ответ:

Диагонали квадрата делят его углы пополам. Угол АВD=90°:2=45° ⇒ Угол FBE=180°-90°-45°=45°, поэтому треугольник ВЕF — равнобедренный, ВЕ=FЕ. Соединим точки F и D и получим прямоугольные ∆ АFD и ∆ DFE. Эти треугольники равны по катету ( ED=AD по условию) и общей гипотенузе FD. ⇒ EF=AF, а так как EF=BE, то  AF=FE=BE

Задание 508

В трапеции ABCD известно, что ∠В = 90°, ∠C= 150°, ВС =5 см. Найдите сторону CD, если высота трапеции, проведённая из вершины С, разбивает данную трапецию на треугольник и квадрат.

Ответ:

Дано: ABCD — трапеция, ∠АВС=90°, ∠BCD=150°, ВС=5 см, СК- высота

Найти: CD-?

Решение:

Так как АВСD- квадрат (по условию), то

АВ=ВС=СК=АК=5 см,

∠АВС=∠ВАК=∠АКС=∠ВСК=90°

∠KCD=∠BCD-∠BCK=150°-90°=60°

Рассмотрим ΔKCD

Так как СК- высота, то ΔKCD — прямоугольный (∠СКD=90°)

∠KCD = 60°

∠CDK=180°- ∠СКD-∠KCD = 180°-90°-60° =30°

CK=  CD (как катет, что лежит против угла в 30°)⇒

CD=2СК = 2*5=10 см

Ответ: CD=10 см

Задание 509

На окружности отметили 999 точек синим карандашом и одну точку красным карандашом. Каких многоугольников с вершинами в отмеченных точках больше: тех, которые содержат красную точку, или тех, которые её не содержат?

Ответ:

Многоугольников, содержащих красную точку, больше. Рассмотрим множество многоугольников, все вершины которых синие. Каждому такому многоугольнику соответствует, по крайней мере, один многоугольник, полученный из данного многоугольника добавлением к его вершинам красной точки. Значит, многоугольников, содержащих красную точку, не меньше, чем многоугольников, все вершины которых синие. Однако треугольник с двумя синими вершинами и одной красной не соответствует ни одному многоугольнику с синими вершинами.