§ 14. Второй и третий признаки подобия треугольников
Упражнение 1
Пусть M- произвольная точка окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC. Докажите, что один из отрезков MA, MB, MC равен сумме двух других.
Ответ:
Обозначим AM = x, CM = z, BM = y, AB = BC = AC = a. Тогда ∠AMC = ∠BMC = 60°, а согласно задаче 52355 z = x + y. Применив теорему косинусов к треугольникам AMC и BMC, получим 2a² = a² + a² = (x² + z² – xz) + (y² + z² – yz) = x² + y² + 2z² – (x + y) z = x² + y² + z².
Таким образом, сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до вершин треугольника равна 2a².
Упражнение 2
На окружности отмечены точки A,B,C,D так, что дуга АВ = дуге ВС = дуге СD. Докажите, что АС^2=AB*(BC+AD).
Ответ:
cos (90⁰+α) = — sin α
cos 90⁰ · cos α — sin 90⁰ · sin α = — sin α
0 · cos α — 1 · sin α = — sin α
— sin α = — sin α
тождество доказано