Геометрия 8 класс учебник Мерзляк Второй и третий признаки подобия треугольников страница 100

§ 14. Второй и третий признаки подобия треугольников

Упражнение 1

Пусть M- произвольная точка окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC. Докажите, что один из отрезков MA, MB, MC равен сумме двух других.

Ответ:

Обозначим  AM = x,  CM = z,  BM = y,  AB = BC = AC = a. Тогда  ∠AMC = ∠BMC = 60°,  а согласно задаче 52355  z = x + y. Применив теорему косинусов к треугольникам AMC и BMC, получим   2a² = a² + a² = (x² + z² – xz) + (y² + z² – yz) = x² + y² + 2z² – (x + y) z = x² + y² + z².

Таким образом, сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до вершин треугольника равна 2a².

Упражнение 2

На окружности отмечены точки A,B,C,D так, что дуга АВ = дуге ВС = дуге СD. Докажите, что АС^2=AB*(BC+AD).​

Ответ:

cos (90⁰+α) = — sin α

cos 90⁰ · cos α — sin 90⁰ · sin α = — sin α

0 · cos α — 1 · sin α = — sin α

— sin α = — sin α

тождество доказано