Алгебра 9 класс рабочая тетрадь Мерзляк 1 часть. Числовые неравенства задание 7

Числовые неравенства

Задание 7.

Докажите неравенство: 2b² – 10b +26 > 0.

Ответ:

2b² – 10b +26 = b² + b² – 10b + 25 + 1 = b² + 1 + (b – 5)². Число b² ≥ 0 при любых значениях b. Выражение  (b – 5)² ≥ 0 при любом значении b. Число 1 > 0. Следовательно, сумма трех положительных чисел является числом положительным. Значит, 2b² – 10b +26 > 0 при любом b.

2) x² +10y² ≥  6xy

Ответ:

Начнем с рассмотрения разности двух частей неравенства: x² + 10y² – 6xy = (x – 3y)² + y².

Число y² ≥  0 при любом у. Выражение (x – 3y)² ≥ 0 при любых значениях x и y. Сумма двух неотрицательных чисел является неотрицательным числом. Из этого следует, что

x² +10y² ≥  6xy при любых значениях x и y.

3) 8 (a² + 5) ≥ 3² (a – 1)

Ответ:

Рассматриваем разность двух частей неравенства: 8а² + 40 – 32а + 32 = 8а² – 32а + 72 =

= 4а² + 4а² – 32а + 64 + 8 = (2а – 8)² + (4а² + 8) ≥ 0

Получаем сумму двух выражений, которые при любом значении а:

 (2а – 8)² ≥ 0 и (4а² + 8) ≥ 0.

Можем сделать вывод, что 8 (a² + 5) ≥ 32 (a – 1) при любом а.